Calcul infinitésimal Exemples

y = 3 x^{2} + 3 x

$y = 3 x^{2} + 3 x$ ,

(1, 6)

$(1, 6)$

Étape 1

Écrivez

y = 3 x^{2} + 3 x

$y = 3 x^{2} + 3 x$ comme une fonction.

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Étape 2

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

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Étape 2.1

Évaluez

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$ sur

x = 1

$x = 1$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

1

$1$ dans l’expression.

f (1) = 3 {(1)}^{2} + 3 (1)

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

f (1) = 3 \cdot 1 + 3 (1)

$f (1) = 3 \cdot 1 + 3 (1)$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

f (1) = 3 + 3 (1)

$f (1) = 3 + 3 (1)$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

f (1) = 3 + 3

$f (1) = 3 + 3$

f (1) = 3 + 3

$f (1) = 3 + 3$

Étape 2.1.2.2

Additionnez

3

$3$ et

3

$3$ .

f (1) = 6

$f (1) = 6$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est

6

$6$ .

6

$6$

6

$6$

6

$6$

Étape 2.2

Comme

6 = 6

$6 = 6$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 3

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

m

$m$

=

$=$ La dérivée de

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Étape 4

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 5

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 5.1

Évaluez la fonction sur

x = x + h

$x = x + h$ .

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Étape 5.1.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

x + h

$x + h$ dans l’expression.

f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.1

Réécrivez

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ comme

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ .

f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.2

Développez

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.3.1.1

Multipliez

x

$x$ par

x

$x$ .

f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.3.1.2

Multipliez

h

$h$ par

h

$h$ .

f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.3.2

Additionnez

x h

$x h$ et

h x

$h x$ .

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Étape 5.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre

x

$x$ et

h

$h$ .

f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.3.2.2

Additionnez

h x

$h x$ et

h x

$h x$ .

f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.5

Multipliez

2

$2$ par

3

$3$ .

f (x + h) = 3 x^{2} + 6 (h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 (h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Étape 5.1.2.2

La réponse finale est

3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.2.1

Déplacez

3 x

$3 x$ .

3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 h + 3 x

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 h + 3 x$

Étape 5.2.2

Déplacez

3 x^{2}

$3 x^{2}$ .

6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 3 h + 3 x

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Étape 5.2.3

Remettez dans l’ordre

6 h x

$6 h x$ et

3 h^{2}

$3 h^{2}$ .

3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Étape 5.3

Déterminez les composants de la définition.

f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Étape 6

Insérez les composants.

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2} + 3 x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2} + 3 x)}{h}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2}) - (3 x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Étape 7.1.2

Multipliez

3

$3$ par

- 1

$- 1$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - (3 x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - (3 x)}{h}$

Étape 7.1.3

Multipliez

3

$3$ par

- 1

$- 1$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - 3 x}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - 3 x}{h}$

Étape 7.1.4

Soustrayez

3 x^{2}

$3 x^{2}$ de

3 x^{2}

$3 x^{2}$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Étape 7.1.5

Additionnez

3 h^{2}

$3 h^{2}$ et

0

$0$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Étape 7.1.6

Soustrayez

3 x

$3 x$ de

3 x

$3 x$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 0}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 0}{h}$

Étape 7.1.7

Additionnez

3 h^{2} + 6 h x + 3 h

$3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ et

0

$0$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h}{h}$

Étape 7.1.8

Factorisez

3 h

$3 h$ à partir de

3 h^{2} + 6 h x + 3 h

$3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ .

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Étape 7.1.8.1

Factorisez

3 h

$3 h$ à partir de

3 h^{2}

$3 h^{2}$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x + 3 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x + 3 h}{h}$

Étape 7.1.8.2

Factorisez

3 h

$3 h$ à partir de

6 h x

$6 h x$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h}{h}$

Étape 7.1.8.3

Factorisez

3 h

$3 h$ à partir de

3 h

$3 h$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h \cdot 1}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Étape 7.1.8.4

Factorisez

3 h

$3 h$ à partir de

3 h \cdot h + 3 h (2 x)

$3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Étape 7.1.8.5

Factorisez

3 h

$3 h$ à partir de

3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1

$3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Étape 7.2

Simplifiez les termes.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de

h

$h$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Étape 7.2.1.2

Divisez

3 (h + 2 x + 1)

$3 (h + 2 x + 1)$ par

1

$1$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)$

f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)$

Étape 7.2.2

Appliquez la propriété distributive.

f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

Étape 7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Multipliez

2

$2$ par

3

$3$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3 \cdot 1

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3 \cdot 1$

Étape 7.3.2

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3$

f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3$

Étape 7.4

Remettez dans l’ordre

3 h

$3 h$ et

6 x

$6 x$ .

f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3$

f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

h

$h$ approche de

0

$0$ .

lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Étape 8.2

Évaluez la limite de

6 x

$6 x$ qui est constante lorsque

h

$h$ approche de

0

$0$ .

6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Étape 8.3

Placez le terme

3

$3$ hors de la limite car il constant par rapport à

h

$h$ .

6 x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Étape 8.4

Évaluez la limite de

3

$3$ qui est constante lorsque

h

$h$ approche de

0

$0$ .

6 x + 3 lim_{h \to 0} h + 3

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + 3$

6 x + 3 lim_{h \to 0} h + 3

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + 3$

Étape 9

Évaluez la limite de

h

$h$ en insérant

0

$0$ pour

h

$h$ .

6 x + 3 \cdot 0 + 3

$6 x + 3 \cdot 0 + 3$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Multipliez

3

$3$ par

0

$0$ .

6 x + 0 + 3

$6 x + 0 + 3$

Étape 10.2

Additionnez

6 x

$6 x$ et

0

$0$ .

6 x + 3

$6 x + 3$

6 x + 3

$6 x + 3$

Étape 11

Simplifiez

6 (1) + 3

$6 (1) + 3$ .

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Étape 11.1

Multipliez

6

$6$ par

1

$1$ .

m = 6 + 3

$m = 6 + 3$

Étape 11.2

Additionnez

6

$6$ et

3

$3$ .

m = 9

$m = 9$

m = 9

$m = 9$

Étape 12

La pente est

m = 9

$m = 9$ et le point central est

(1, 6)

$(1, 6)$ .

m = 9, (1, 6)

$m = 9, (1, 6)$

Étape 13

Déterminez la valeur de

b

$b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

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Étape 13.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer

b

$b$ .

y = m x + b

$y = m x + b$

Étape 13.2

Remplacez la valeur de

m

$m$ dans l’équation.

y = (9) \cdot x + b

$y = (9) \cdot x + b$

Étape 13.3

Remplacez la valeur de

x

$x$ dans l’équation.

y = (9) \cdot (1) + b

$y = (9) \cdot (1) + b$

Étape 13.4

Remplacez la valeur de

y

$y$ dans l’équation.

6 = (9) \cdot (1) + b

$6 = (9) \cdot (1) + b$

Étape 13.5

Déterminez la valeur de

b

$b$ .

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Étape 13.5.1

Réécrivez l’équation comme

(9) \cdot (1) + b = 6

$(9) \cdot (1) + b = 6$ .

(9) \cdot (1) + b = 6

$(9) \cdot (1) + b = 6$

Étape 13.5.2

Multipliez

9

$9$ par

1

$1$ .

9 + b = 6

$9 + b = 6$

Étape 13.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas

b

$b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 13.5.3.1

Soustrayez

9

$9$ des deux côtés de l’équation.

b = 6 - 9

$b = 6 - 9$

Étape 13.5.3.2

Soustrayez

9

$9$ de

6

$6$ .

b = - 3

$b = - 3$

b = - 3

$b = - 3$

b = - 3

$b = - 3$

b = - 3

$b = - 3$

Étape 14

Maintenant que les valeurs de

m

$m$ (pente) et

b

$b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans

y = m x + b

$y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

y = 9 x - 3

$y = 9 x - 3$

Étape 15

Saisissez VOTRE problème