Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ ,

[- 2, 1]

$[- 2, 1]$

Étape 1

f

$f$ est continu sur l’intervalle

[a, b]

$[a, b]$ et différentiable sur

(a, b)

$(a, b)$ , au moins un nombre réel

c

$c$ existe sur l’intervalle

(a, b)

$(a, b)$ de telle sorte que

f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur

x = c

$x = c$ et la pente de la droite passant par les points

(a, f (a))

$(a, f (a))$ et

(b, f (b))

$(b, f (b))$ .

f (x)

$f (x)$ est continu sur

[a, b]

$[a, b]$

et si

f (x)

$f (x)$ différentiable sur

(a, b)

$(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point,

c

$c$ dans

[a, b]

$[a, b]$ :

f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si

f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur

$[- 2, 1]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

$3 x^{2} + 6 x - 5$ par rapport à

$x$ est

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.1.2

Évaluez

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.1.2.1

Comme

$3$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$3 x^{2}$ par rapport à

$x$ est

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.1.2.3

Multipliez

$2$ par

$3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.1.3

Évaluez

$\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme

$6$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$6 x$ par rapport à

$x$ est

$6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez

$6$ par

$1$ .

$6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.4.1

Comme

$- 5$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- 5$ par rapport à

$x$ est

$0$ .

$6 x + 6 + 0$

Étape 3.1.4.2

Additionnez

$6 x + 6$ et

$0$ .

$f' (x) = 6 x + 6$

Étape 3.2

La dérivée première de

$f (x)$ par rapport à

$x$ est

$6 x + 6$ .

$6 x + 6$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur

$(- 2, 1)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur

$(- 2, 1)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur

$(- 2, 1)$ car la dérivée est continue sur

$(- 2, 1)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur

$[- 2, 1]$ et différentiable sur

$(- 2, 1)$ .

$f (x)$ est continu sur

$[- 2, 1]$ et différentiable sur

$(- 2, 1)$ .

Étape 7

Évaluez

$f (a)$ à partir de l’intervalle

$[- 2, 1]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable

$x$ par

$- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 5$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez

$- 2$ à la puissance

$2$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 4 + 6 (- 2) - 5$

Étape 7.2.1.2

Multipliez

$3$ par

$4$ .

$f (- 2) = 12 + 6 (- 2) - 5$

Étape 7.2.1.3

Multipliez

$6$ par

$- 2$ .

$f (- 2) = 12 - 12 - 5$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez

$12$ de

$12$ .

$f (- 2) = 0 - 5$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez

$5$ de

$0$ .

$f (- 2) = - 5$

Étape 7.2.3

La réponse finale est

$- 5$ .

$- 5$

Étape 8

Évaluez

$f (b)$ à partir de l’intervalle

$[- 2, 1]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable

$x$ par

$1$ dans l’expression.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 6 (1) - 5$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 6 (1) - 5$

Étape 8.2.1.2

Multipliez

$3$ par

$1$ .

$f (1) = 3 + 6 (1) - 5$

Étape 8.2.1.3

Multipliez

$6$ par

$1$ .

$f (1) = 3 + 6 - 5$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez

$3$ et

$6$ .

$f (1) = 9 - 5$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez

$5$ de

$9$ .

$f (1) = 4$

Étape 8.2.3

La réponse finale est

$4$ .

$4$

Étape 9

Résolvez

$6 x + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour

$x$ .

$6 x + 6 = \frac{- (f (1) + f (- 2))}{- (1 - 2)}$ .

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{(4) - (- 5)}{(1) - (- 2)}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 5$ .

$6 x + 6 = \frac{4 + 5}{1 - (- 2)}$

Étape 9.1.1.2

Additionnez

$4$ et

$5$ .

$6 x + 6 = \frac{9}{1 - (- 2)}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$6 x + 6 = \frac{9}{1 + 2}$

Étape 9.1.2.2

Additionnez

$1$ et

$2$ .

$6 x + 6 = \frac{9}{3}$

Étape 9.1.3

Divisez

$9$ par

$3$ .

$6 x + 6 = 3$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas

$x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez

$6$ des deux côtés de l’équation.

$6 x = 3 - 6$

Étape 9.2.2

Soustrayez

$6$ de

$3$ .

$6 x = - 3$

Étape 9.3

Divisez chaque terme dans

$6 x = - 3$ par

$6$ et simplifiez.

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Étape 9.3.1

Divisez chaque terme dans

$6 x = - 3$ par

$6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 3}{6}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

Annulez le facteur commun de

$6$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 3}{6}$

Étape 9.3.2.1.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x = \frac{- 3}{6}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Annulez le facteur commun à

$- 3$ et

$6$ .

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Étape 9.3.3.1.1

Factorisez

$3$ à partir de

$- 3$ .

$x = \frac{3 (- 1)}{6}$

Étape 9.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.3.1.2.1

Factorisez

$3$ à partir de

$6$ .

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Étape 9.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Étape 9.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 9.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur

$x = - \frac{1}{2}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux

$a = - 2$ et

$b = 1$ .

Il y a une droite tangente sur

$x = - \frac{1}{2}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux

$a = - 2$ et

$b = 1$

Étape 11

Saisissez VOTRE problème