Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ , $[0, 6]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[0, 6]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Étape 3.1.3.2

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(0, 6)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(0, 6)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(0, 6)$ car la dérivée est continue sur $(0, 6)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[0, 6]$ et différentiable sur $(0, 6)$ .

$f (x)$ est continu sur $[0, 6]$ et différentiable sur $(0, 6)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[0, 6]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2} + 2 (0) - 3$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 2 (0) - 3$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 3$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 3$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f (0) = - 3$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 8

Évaluez $f (b)$ à partir de l’intervalle $[0, 6]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = {(6)}^{2} + 2 (6) - 3$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (6) = 36 + 2 (6) - 3$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$f (6) = 36 + 12 - 3$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $36$ et $12$ .

$f (6) = 48 - 3$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $3$ de $48$ .

$f (6) = 45$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $45$ .

$45$

Étape 9

Résolvez $2 x + 2 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $2 x + 2 = \frac{- (f (6) + f (0))}{- (6 + 0)}$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $\frac{(45) - (- 3)}{(6) - (0)}$ .

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun à $(45) - (- 3)$ et $(6) - (0)$ .

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Étape 9.1.1.1

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$2 x + 2 = \frac{(45) - (- 3)}{- 1 (- 6) - (0)}$

Étape 9.1.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 6) - (0)$ .

$2 x + 2 = \frac{(45) - (- 3)}{- 1 (- 6 + 0)}$

Étape 9.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $45$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15) - (- 3)}{- 1 (- 6 + 0)}$

Étape 9.1.1.4

Factorisez $3$ à partir de $- (- 3)$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15) + 3 (- (- 1))}{- 1 (- 6 + 0)}$

Étape 9.1.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (15) + 3 (- (- 1))$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{- 1 (- 6 + 0)}$

Étape 9.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 1 (- 6 + 0)$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{3 (- 1 (- 2 + 0))}$

Étape 9.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{3 (- 1 (- 2 + 0))}$

Étape 9.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$2 x + 2 = \frac{15 - (- 1)}{- 1 (- 2 + 0)}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 x + 2 = \frac{15 + 1}{- 1 (- 2 + 0)}$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $15$ et $1$ .

$2 x + 2 = \frac{16}{- 1 (- 2 + 0)}$

Étape 9.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.3.1

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$2 x + 2 = \frac{16}{- 1 \cdot - 2}$

Étape 9.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 x + 2 = \frac{16}{2}$

Étape 9.1.3.3

Divisez $16$ par $2$ .

$2 x + 2 = 8$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = 8 - 2$

Étape 9.2.2

Soustrayez $2$ de $8$ .

$2 x = 6$

Étape 9.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 6$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 6$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Étape 9.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Divisez $6$ par $2$ .

$x = 3$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur $x = 3$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 6$ .

Il y a une droite tangente sur $x = 3$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 6$

Étape 11

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