Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ,

[0, 6]

$[0, 6]$

Étape 1

f

$f$ est continu sur l’intervalle

[a, b]

$[a, b]$ et différentiable sur

(a, b)

$(a, b)$ , au moins un nombre réel

c

$c$ existe sur l’intervalle

(a, b)

$(a, b)$ de telle sorte que

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur

$x = c$ et la pente de la droite passant par les points

$(a, f (a))$ et

$(b, f (b))$ .

$f (x)$ est continu sur

$[a, b]$

et si

$f (x)$ différentiable sur

$(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point,

$c$ dans

$[a, b]$ :

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur

$[0, 6]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

$x^{2} + 2 x - 3$ par rapport à

$x$ est

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3.1.2

Évaluez

$\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.1.2.1

Comme

$2$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$2 x$ par rapport à

$x$ est

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3.1.2.3

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.3.1

Comme

$- 3$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- 3$ par rapport à

$x$ est

$0$ .

$2 x + 2 + 0$

Étape 3.1.3.2

Additionnez

$2 x + 2$ et

$0$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Étape 3.2

La dérivée première de

$f (x)$ par rapport à

$x$ est

$2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur

$(0, 6)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur

$(0, 6)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur

$(0, 6)$ car la dérivée est continue sur

$(0, 6)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur

$[0, 6]$ et différentiable sur

$(0, 6)$ .

$f (x)$ est continu sur

$[0, 6]$ et différentiable sur

$(0, 6)$ .

Étape 7

Évaluez

$f (a)$ à partir de l’intervalle

$[0, 6]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable

$x$ par

$0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2} + 2 (0) - 3$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$f (0) = 0 + 2 (0) - 3$

Étape 7.2.1.2

Multipliez

$2$ par

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 3$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$f (0) = 0 - 3$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez

$3$ de

$0$ .

$f (0) = - 3$

Étape 7.2.3

La réponse finale est

$- 3$ .

$- 3$

Étape 8

Évaluez

$f (b)$ à partir de l’intervalle

$[0, 6]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable

$x$ par

$6$ dans l’expression.

$f (6) = {(6)}^{2} + 2 (6) - 3$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez

$6$ à la puissance

$2$ .

$f (6) = 36 + 2 (6) - 3$

Étape 8.2.1.2

Multipliez

$2$ par

$6$ .

$f (6) = 36 + 12 - 3$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez

$36$ et

$12$ .

$f (6) = 48 - 3$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez

$3$ de

$48$ .

$f (6) = 45$

Étape 8.2.3

La réponse finale est

$45$ .

$45$

Étape 9

Résolvez

$2 x + 2 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour

$x$ .

$2 x + 2 = \frac{- (f (6) + f (0))}{- (6 + 0)}$ .

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{(45) - (- 3)}{(6) - (0)}$ .

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun à

$(45) - (- 3)$ et

$(6) - (0)$ .

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Étape 9.1.1.1

Réécrivez

$6$ comme

$- 1 (- 6)$ .

$2 x + 2 = \frac{(45) - (- 3)}{- 1 (- 6) - (0)}$

Étape 9.1.1.2

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- 1 (- 6) - (0)$ .

$2 x + 2 = \frac{(45) - (- 3)}{- 1 (- 6 + 0)}$

Étape 9.1.1.3

Factorisez

$3$ à partir de

$45$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15) - (- 3)}{- 1 (- 6 + 0)}$

Étape 9.1.1.4

Factorisez

$3$ à partir de

$- (- 3)$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15) + 3 (- (- 1))}{- 1 (- 6 + 0)}$

Étape 9.1.1.5

Factorisez

$3$ à partir de

$3 (15) + 3 (- (- 1))$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{- 1 (- 6 + 0)}$

Étape 9.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.1.6.1

Factorisez

$3$ à partir de

$- 1 (- 6 + 0)$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{3 (- 1 (- 2 + 0))}$

Étape 9.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{3 (- 1 (- 2 + 0))}$

Étape 9.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$2 x + 2 = \frac{15 - (- 1)}{- 1 (- 2 + 0)}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$2 x + 2 = \frac{15 + 1}{- 1 (- 2 + 0)}$

Étape 9.1.2.2

Additionnez

$15$ et

$1$ .

$2 x + 2 = \frac{16}{- 1 (- 2 + 0)}$

Étape 9.1.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.3.1

Additionnez

$- 2$ et

$0$ .

$2 x + 2 = \frac{16}{- 1 \cdot - 2}$

Étape 9.1.3.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$2 x + 2 = \frac{16}{2}$

Étape 9.1.3.3

Divisez

$16$ par

$2$ .

$2 x + 2 = 8$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas

$x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez

$2$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = 8 - 2$

Étape 9.2.2

Soustrayez

$2$ de

$8$ .

$2 x = 6$

Étape 9.3

Divisez chaque terme dans

$2 x = 6$ par

$2$ et simplifiez.

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Étape 9.3.1

Divisez chaque terme dans

$2 x = 6$ par

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Étape 9.3.2.1.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Divisez

$6$ par

$2$ .

$x = 3$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur

$x = 3$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux

$a = 0$ et

$b = 6$ .

Il y a une droite tangente sur

$x = 3$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux

$a = 0$ et

$b = 6$

Étape 11

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