Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1

$f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

4 x^{2} - 3 x + 1

$4 x^{2} - 3 x + 1$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2

Évaluez

\frac{d}{d x} [4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme

4

$4$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

4 x^{2}

$4 x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

4 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 2

$n = 2$ .

4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.3

Multipliez

2

$2$ par

4

$4$ .

8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3

Évaluez

\frac{d}{d x} [- 3 x]

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme

- 3

$- 3$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 3 x

$- 3 x$ par rapport à

x

$x$ est

- 3 \frac{d}{d x} [x]

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]

$8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.3

Multipliez

- 3

$- 3$ par

1

$1$ .

8 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]

$8 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

8 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]

$8 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme

1

$1$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

1

$1$ par rapport à

x

$x$ est

0

$0$ .

8 x - 3 + 0

$8 x - 3 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez

8 x - 3

$8 x - 3$ et

0

$0$ .

8 x - 3

$8 x - 3$

8 x - 3

$8 x - 3$

8 x - 3

$8 x - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

8 x - 3

$8 x - 3$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2

Évaluez

$\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme

$8$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$8 x$ par rapport à

$x$ est

$8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$f'' (x) = 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3

Multipliez

$8$ par

$1$ .

$f'' (x) = 8 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme

$- 3$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- 3$ par rapport à

$x$ est

$0$ .

$f'' (x) = 8 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez

$8$ et

$0$ .

$f'' (x) = 8$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à

$0$ et résolvez.

$8 x - 3 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

$4 x^{2} - 3 x + 1$ par rapport à

$x$ est

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 4.1.2

Évaluez

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme

$4$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$4 x^{2}$ par rapport à

$x$ est

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 2$ .

$f' (x) = 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez

$2$ par

$4$ .

$f' (x) = 8 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 4.1.3

Évaluez

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme

$- 3$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- 3 x$ par rapport à

$x$ est

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 8 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$f' (x) = 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$f' (x) = 8 x - 3 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme

$1$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$1$ par rapport à

$x$ est

$0$ .

$f' (x) = 8 x - 3 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez

$8 x - 3$ et

$0$ .

$f' (x) = 8 x - 3$

Étape 4.2

La dérivée première de

$f (x)$ par rapport à

$x$ est

$8 x - 3$ .

$8 x - 3$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à

$0$ puis résolvez l’équation

$8 x - 3 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à

$0$ .

$8 x - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez

$3$ aux deux côtés de l’équation.

$8 x = 3$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans

$8 x = 3$ par

$8$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans

$8 x = 3$ par

$8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de

$8$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x = \frac{3}{8}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{3}{8}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur

$x = \frac{3}{8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$8$

Étape 9

$x = \frac{3}{8}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3}{8}$ est un minimum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand

$x = \frac{3}{8}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable

$x$ par

$\frac{3}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{3}{8}) = 4 {(\frac{3}{8})}^{2} - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Appliquez la règle de produit à

$\frac{3}{8}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{3^{2}}{8^{2}}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

Étape 10.2.1.2

Élevez

$3$ à la puissance

$2$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{8^{2}}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

Étape 10.2.1.3

Élevez

$8$ à la puissance

$2$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{64}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

Étape 10.2.1.4

Annulez le facteur commun de

$4$ .

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Étape 10.2.1.4.1

Factorisez

$4$ à partir de

$64$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{4 (16)}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

Étape 10.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{4 \cdot 16}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

Étape 10.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

Étape 10.2.1.5

Multipliez

$- 3 (\frac{3}{8})$ .

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Étape 10.2.1.5.1

Associez

$- 3$ et

$\frac{3}{8}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} + \frac{- 3 \cdot 3}{8} + 1$

Étape 10.2.1.5.2

Multipliez

$- 3$ par

$3$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} + \frac{- 9}{8} + 1$

Étape 10.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9}{8} + 1$

Étape 10.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 10.2.2.1

Multipliez

$\frac{9}{8}$ par

$\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - (\frac{9}{8} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Étape 10.2.2.2

Multipliez

$\frac{9}{8}$ par

$\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + 1$

Étape 10.2.2.3

Écrivez

$1$ comme une fraction avec le dénominateur

$1$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Étape 10.2.2.4

Multipliez

$\frac{1}{1}$ par

$\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Étape 10.2.2.5

Multipliez

$\frac{1}{1}$ par

$\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{16}{16}$

Étape 10.2.2.6

Réorganisez les facteurs de

$8 \cdot 2$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 8} + \frac{16}{16}$

Étape 10.2.2.7

Multipliez

$2$ par

$8$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{16} + \frac{16}{16}$

Étape 10.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 16}{16}$

Étape 10.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.4.1

Multipliez

$- 9$ par

$2$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9 - 18 + 16}{16}$

Étape 10.2.4.2

Soustrayez

$18$ de

$9$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 9 + 16}{16}$

Étape 10.2.4.3

Additionnez

$- 9$ et

$16$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{7}{16}$

Étape 10.2.5

La réponse finale est

$\frac{7}{16}$ .

$y = \frac{7}{16}$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour

$f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1$ .

$(\frac{3}{8}, \frac{7}{16})$ est un minimum local

Étape 12

Saisissez VOTRE problème