Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 5 x^{2} + 14 x + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x^{2} + 14 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x + 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 10 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3.3

Multipliez $14$ par $1$ .

$- 10 x + 14 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 10 x + 14 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $- 10 x + 14$ et $0$ .

$- 10 x + 14$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 10 x + 14$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (14)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (14)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (14)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{d}{d x} (14)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 10 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 10$ et $0$ .

$f'' (x) = - 10$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 10 x + 14 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x^{2} + 14 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x + 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 10 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $14$ par $1$ .

$- 10 x + 14 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 10 x + 14 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $- 10 x + 14$ et $0$ .

$f' (x) = - 10 x + 14$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 10 x + 14$ .

$- 10 x + 14$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 10 x + 14 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 10 x + 14 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $14$ des deux côtés de l’équation.

$- 10 x = - 14$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 10 x = - 14$ par $- 10$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 10 x = - 14$ par $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 14}{- 10}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 10$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 14}{- 10}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 14}{- 10}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 14$ et $- 10$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 14$ .

$x = \frac{- 2 (7)}{- 10}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 10$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 5}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 5}$

Étape 5.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{7}{5}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{7}{5}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{7}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 10$

Étape 9

$x = \frac{7}{5}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{7}{5}$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{7}{5}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7}{5}$ dans l’expression.

$f (\frac{7}{5}) = - 5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 \frac{7^{2}}{5^{2}} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Étape 10.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 \frac{49}{5^{2}} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Étape 10.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 (\frac{49}{25}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Étape 10.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 10.2.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f (\frac{7}{5}) = 5 (- 1) (\frac{49}{25}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Étape 10.2.1.4.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$f (\frac{7}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{49}{5 \cdot 5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Étape 10.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{49}{5 \cdot 5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Étape 10.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7}{5}) = - 1 (\frac{49}{5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Étape 10.2.1.5

Réécrivez $- 1 (\frac{49}{5})$ comme $- (\frac{49}{5})$ .

$f (\frac{7}{5}) = - (\frac{49}{5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Étape 10.2.1.6

Multipliez $14 (\frac{7}{5})$ .

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Étape 10.2.1.6.1

Associez $14$ et $\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{49}{5} + \frac{14 \cdot 7}{5} + 3$

Étape 10.2.1.6.2

Multipliez $14$ par $7$ .

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{49}{5} + \frac{98}{5} + 3$

Étape 10.2.2

Associez les fractions.

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Étape 10.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7}{5}) = 3 + \frac{- 49 + 98}{5}$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $- 49$ et $98$ .

$f (\frac{7}{5}) = 3 + \frac{49}{5}$

Étape 10.2.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = 3 \cdot \frac{5}{5} + \frac{49}{5}$

Étape 10.2.4

Associez $3$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{3 \cdot 5}{5} + \frac{49}{5}$

Étape 10.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{3 \cdot 5 + 49}{5}$

Étape 10.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.6.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{15 + 49}{5}$

Étape 10.2.6.2

Additionnez $15$ et $49$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{64}{5}$

Étape 10.2.7

La réponse finale est $\frac{64}{5}$ .

$y = \frac{64}{5}$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 5 x^{2} + 14 x + 3$ .

$(\frac{7}{5}, \frac{64}{5})$ est un maximum local

Étape 12

Saisissez VOTRE problème