Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = x^{4} - 3 x^{2}

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x^{4} - 3 x^{2}

$x^{4} - 3 x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 4

$n = 4$ .

f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Étape 1.1.2

Évaluez

\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme

- 3

$- 3$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 3 x^{2}

$- 3 x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

f' (x) = 4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{2}

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 2

$n = 2$ .

f' (x) = 4 x^{3} - 3 (2 x)

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 (2 x)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez

2

$2$ par

- 3

$- 3$ .

f' (x) = 4 x^{3} - 6 x

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x$

f' (x) = 4 x^{3} - 6 x

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x$

f' (x) = 4 x^{3} - 6 x

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

4 x^{3} - 6 x

$4 x^{3} - 6 x$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 1.2.2

Évaluez

\frac{d}{d x} [4 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme

4

$4$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

4 x^{3}

$4 x^{3}$ par rapport à

x

$x$ est

4 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 3

$n = 3$ .

f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez

3

$3$ par

4

$4$ .

f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x)

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x)

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 1.2.3

Évaluez

\frac{d}{d x} [- 6 x]

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme

- 6

$- 6$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 6 x

$- 6 x$ par rapport à

x

$x$ est

- 6 \frac{d}{d x} [x]

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \cdot 1

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \cdot 1$

Étape 1.2.3.3

Multipliez

- 6

$- 6$ par

1

$1$ .

f'' (x) = 12 x^{2} - 6

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6$

f'' (x) = 12 x^{2} - 6

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6$

f'' (x) = 12 x^{2} - 6

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6$

Étape 1.3

La dérivée seconde de

f (x)

$f (x)$ par rapport à

x

$x$ est

12 x^{2} - 6

$12 x^{2} - 6$ .

12 x^{2} - 6

$12 x^{2} - 6$

12 x^{2} - 6

$12 x^{2} - 6$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à

0

$0$ puis résolvez l’équation

12 x^{2} - 6 = 0

$12 x^{2} - 6 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à

0

$0$ .

12 x^{2} - 6 = 0

$12 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez

6

$6$ aux deux côtés de l’équation.

12 x^{2} = 6

$12 x^{2} = 6$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans

12 x^{2} = 6

$12 x^{2} = 6$ par

12

$12$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans

12 x^{2} = 6

$12 x^{2} = 6$ par

12

$12$ .

\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{6}{12}

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{6}{12}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de

12

$12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{6}{12}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez

$x^{2}$ par

$1$ .

$x^{2} = \frac{6}{12}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à

$6$ et

$12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Factorisez

$6$ à partir de

$6$ .

$x^{2} = \frac{6 (1)}{12}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez

$6$ à partir de

$12$ .

$x^{2} = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.5.2

Toute racine de

$1$ est

$1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 2.5.3

Multipliez

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.5.4.2

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.5.4.3

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.5.4.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.4.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.5.4.6

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

$2$ .

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Étape 2.5.4.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.4.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde

$0$ .

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Étape 3.1

Remplacez

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ pour déterminer la valeur de

$y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable

$x$ par

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1.2.1

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{4}$ comme

$2^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1.2.1.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2.1.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à

$4$ et

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.2.1.4.1

Factorisez

$2$ à partir de

$4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.2.1.4.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2.1.4.2.4

Divisez

$2$ par

$1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2.2

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.3

Élevez

$2$ à la puissance

$4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à

$4$ et

$16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.4.1

Factorisez

$4$ à partir de

$4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 (1)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.4.2.1

Factorisez

$4$ à partir de

$16$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.5

Appliquez la règle de produit à

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.1.6

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

$2$ .

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Étape 3.1.2.1.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.1.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.1.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.1.7

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{2}{4})$

Étape 3.1.2.1.8

Annulez le facteur commun à

$2$ et

$4$ .

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Étape 3.1.2.1.8.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 (1)}{4}$

Étape 3.1.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.8.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

Étape 3.1.2.1.9

Associez

$- 3$ et

$\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.1.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2}$

Étape 3.1.2.2

Pour écrire

$- \frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

$4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

$1$ .

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Étape 3.1.2.3.1

Multipliez

$\frac{3}{2}$ par

$\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.3.2

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Étape 3.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1 - 3 \cdot 2}{4}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.5.1

Multipliez

$- 3$ par

$2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1 - 6}{4}$

Étape 3.1.2.5.2

Soustrayez

$6$ de

$1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5}{4}$

Étape 3.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5}{4}$

Étape 3.1.2.7

La réponse finale est

$- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ est

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$

Étape 3.3

Remplacez

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ pour déterminer la valeur de

$y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez la variable

$x$ par

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez

$- 1$ à la puissance

$4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez

$\frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}$ par

$1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.4.1

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{4}$ comme

$2^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.4.1.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.1.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.1.4

Annulez le facteur commun à

$4$ et

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.4.1.4.1

Factorisez

$2$ à partir de

$4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.4.1.4.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.1.4.2.4

Divisez

$2$ par

$1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{2}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.5

Élevez

$2$ à la puissance

$4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4}{16} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.6

Annulez le facteur commun à

$4$ et

$16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.6.1

Factorisez

$4$ à partir de

$4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 (1)}{16} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.6.2.1

Factorisez

$4$ à partir de

$16$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.7

Utilisez la règle de puissance

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Étape 3.3.2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Étape 3.3.2.1.8

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (1 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Étape 3.3.2.1.9

Multipliez

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ par

$1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.3.2.1.10

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.10.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.3.2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 3.3.2.1.10.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 3.3.2.1.10.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 3.3.2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2}{2^{2}}$

Étape 3.3.2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2}{2^{2}}$

Étape 3.3.2.1.11

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{2}{4})$

Étape 3.3.2.1.12

Annulez le facteur commun à

$2$ et

$4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.12.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 (1)}{4}$

Étape 3.3.2.1.12.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.12.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

Étape 3.3.2.1.13

Associez

$- 3$ et

$\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.3.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2}$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire

$- \frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

$4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

$1$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Multipliez

$\frac{3}{2}$ par

$\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.3.2

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1 - 3 \cdot 2}{4}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.5.1

Multipliez

$- 3$ par

$2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1 - 6}{4}$

Étape 3.3.2.5.2

Soustrayez

$6$ de

$1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5}{4}$

Étape 3.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5}{4}$

Étape 3.3.2.7

La réponse finale est

$- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ est

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$

Étape 4

Divisez

$(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable

$x$ par

$- 0.80710678$ dans l’expression.

$f'' (- 0.80710678) = 12 {(- 0.80710678)}^{2} - 6$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez

$- 0.80710678$ à la puissance

$2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 12 \cdot 0.65142135 - 6$

Étape 5.2.1.2

Multipliez

$12$ par

$0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 7.81705627 - 6$

Étape 5.2.2

Soustrayez

$6$ de

$7.81705627$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.81705627$

Étape 5.2.3

La réponse finale est

$1.81705627$ .

$1.81705627$

Étape 5.3

Sur

$- 0.80710678$ , la dérivée seconde est

$1.81705627$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Augmente sur

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ depuis

$f'' (x) > 0$

Augmente sur

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ depuis

$f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable

$x$ par

$0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 6$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 6$

Étape 6.2.1.2

Multipliez

$12$ par

$0$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Étape 6.2.2

Soustrayez

$6$ de

$0$ .

$f'' (0) = - 6$

Étape 6.2.3

La réponse finale est

$- 6$ .

$- 6$

Étape 6.3

Sur

$0$ , la dérivée seconde est

$- 6$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Diminue sur

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ depuis

$f'' (x) < 0$

Diminue sur

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ depuis

$f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable

$x$ par

$0.80710678$ dans l’expression.

$f'' (0.80710678) = 12 {(0.80710678)}^{2} - 6$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez

$0.80710678$ à la puissance

$2$ .

$f'' (0.80710678) = 12 \cdot 0.65142135 - 6$

Étape 7.2.1.2

Multipliez

$12$ par

$0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 7.81705627 - 6$

Étape 7.2.2

Soustrayez

$6$ de

$7.81705627$ .

$f'' (0.80710678) = 1.81705627$

Étape 7.2.3

La réponse finale est

$1.81705627$ .

$1.81705627$

Étape 7.3

Sur

$0.80710678$ , la dérivée seconde est

$1.81705627$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Augmente sur

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ depuis

$f'' (x) > 0$

Augmente sur

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ depuis

$f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$

Étape 9

Saisissez VOTRE problème