Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.2.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{2} + 12 x + 0$

Étape 1.2.4.2

Additionnez $12 x^{2} + 12 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} + 12 x$ .

$12 x^{2} + 12 x$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} + 12 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} + 12 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2} + 12 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) + 12 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x$ .

$12 x (x) + 12 x (1) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x) + 12 x (1)$ .

$12 x (x + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

Étape 3.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Étape 3.1.2.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ est $(0, 1)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 1)$

Étape 3.3

Remplacez $- 1$ dans $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1 + 1$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 - 8 \cdot - 1 + 1$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 + 8 + 1$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.3.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 8 + 1$

Étape 3.3.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $8$ .

$f (- 1) = 7 + 1$

Étape 3.3.2.2.3

Additionnez $7$ et $1$ .

$f (- 1) = 8$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $8$ .

$8$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 1$ dans $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ est $(- 1, 8)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1, 8)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 1), (- 1, 8)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.1$ dans l’expression.

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} + 12 (- 1.1)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 + 12 (- 1.1)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 + 12 (- 1.1)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $12$ par $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 13.2$

Étape 5.2.2

Soustrayez $13.2$ de $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 1.32$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $1.32$ .

$1.32$

Étape 5.3

Sur $- 1.1$ , la dérivée seconde est $1.32$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 12 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (\frac{- 1}{2})$

Étape 6.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 (6) (\frac{- 1}{2})$

Étape 6.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (6 (\frac{- 1}{2}))$

Étape 6.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 6 \cdot - 1$

Étape 6.2.1.8

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 - 6$

Étape 6.2.2

Soustrayez $6$ de $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6.3

Sur $- \frac{1}{2}$ , la dérivée seconde est $- 3$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 1, 0)$

Diminue sur $(- 1, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 12 (0.1)$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $12$ par $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 1.2$

Étape 7.2.2

Additionnez $0.12$ et $1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.32$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $1.32$ .

$1.32$

Étape 7.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $1.32$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 1, 8), (0, 1)$ .

$(- 1, 8), (0, 1)$

Étape 9

Saisissez VOTRE problème