Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = x^{4} - 4 x^{2}

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ ,

[- 3, 4]

$[- 3, 4]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x^{4} - 4 x^{2}

$x^{4} - 4 x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 4

$n = 4$ .

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez

\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme

- 4

$- 4$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

$- 4 x^{2}$ par rapport à

$x$ est

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez

$2$ par

$- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de

$f (x)$ par rapport à

$x$ est

$4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à

$0$ puis résolvez l’équation

$4 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à

$0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez

$4 x$ à partir de

$4 x^{3} - 8 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez

$4 x$ à partir de

$4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez

$4 x$ à partir de

$- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez

$4 x$ à partir de

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez

$x$ égal à

$0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez

$x^{2} - 2$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez

$x^{2} - 2$ égal à

$0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez

$x^{2} - 2 = 0$ pour

$x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Ajoutez

$2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 1.2.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 1.2.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 1.2.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$4 x (x^{2} - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez

$x^{4} - 4 x^{2}$ sur chaque valeur

$x$ où la dérivée est

$0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur

$x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez

$x$ par

$0$ .

${(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$0 - 4 {(0)}^{2}$

Étape 1.4.1.2.1.2

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez

$- 4$ par

$0$ .

$0 + 0$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur

$x = \sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Remplacez

$x$ par

$\sqrt{2}$ .

${(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{4}$ comme

$2^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.1.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à

$4$ et

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.1.4.1

Factorisez

$2$ à partir de

$4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.4

Divisez

$2$ par

$1$ .

$2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.3

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.3.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.1.3.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.4.2.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.4.2.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Étape 1.4.2.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$4 - 4 \cdot 2$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez

$- 4$ par

$2$ .

$4 - 8$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez

$8$ de

$4$ .

$- 4$

Étape 1.4.3

Évaluez sur

$x = - \sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Remplacez

$x$ par

$- \sqrt{2}$ .

${(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à

$- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.2

Élevez

$- 1$ à la puissance

$4$ .

$1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.3

Multipliez

${\sqrt{2}}^{4}$ par

$1$ .

${\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{4}$ comme

$2^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1.4.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4

Annulez le facteur commun à

$4$ et

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1.4.4.1

Factorisez

$2$ à partir de

$4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.4

Divisez

$2$ par

$1$ .

$2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.5

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.6

Appliquez la règle de produit à

$- \sqrt{2}$ .

$4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Étape 1.4.3.2.1.7

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Étape 1.4.3.2.1.8

Multipliez

${\sqrt{2}}^{2}$ par

$1$ .

$4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.9

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1.9.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 1.4.3.2.1.9.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.4.3.2.1.9.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.4.3.2.1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Étape 1.4.3.2.1.9.5

Évaluez l’exposant.

$4 - 4 \cdot 2$

Étape 1.4.3.2.1.10

Multipliez

$- 4$ par

$2$ .

$4 - 8$

Étape 1.4.3.2.2

Soustrayez

$8$ de

$4$ .

$- 4$

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur

$x = - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez

$x$ par

$- 3$ .

${(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Élevez

$- 3$ à la puissance

$4$ .

$81 - 4 {(- 3)}^{2}$

Étape 2.1.2.1.2

Élevez

$- 3$ à la puissance

$2$ .

$81 - 4 \cdot 9$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez

$- 4$ par

$9$ .

$81 - 36$

Étape 2.1.2.2

Soustrayez

$36$ de

$81$ .

$45$

Étape 2.2

Évaluez sur

$x = 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Remplacez

$x$ par

$4$ .

${(4)}^{4} - 4 {(4)}^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Élevez

$4$ à la puissance

$4$ .

$256 - 4 {(4)}^{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Élevez

$4$ à la puissance

$2$ .

$256 - 4 \cdot 16$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez

$- 4$ par

$16$ .

$256 - 64$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez

$64$ de

$256$ .

$192$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 3, 45), (4, 192)$

Étape 3

Comparez les valeurs

$f (x)$ trouvées pour chaque valeur de

$x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur

$f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur

$f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu :

$(4, 192)$

Minimum absolu :

$(\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Étape 4

Saisissez VOTRE problème