Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = x^{4} - 4 x^{3}

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Étape 1

Find the

x

$x$ values where the second derivative is equal to

0

$0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x^{4} - 4 x^{3}

$x^{4} - 4 x^{3}$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 4

$n = 4$ .

f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Étape 1.1.1.2

Évaluez

\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme

- 4

$- 4$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 4 x^{3}

$- 4 x^{3}$ par rapport à

x

$x$ est

- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 3

$n = 3$ .

f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez

3

$3$ par

- 4

$- 4$ .

f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

4 x^{3} - 12 x^{2}

$4 x^{3} - 12 x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Étape 1.1.2.2

Évaluez

\frac{d}{d x} [4 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme

4

$4$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

4 x^{3}

$4 x^{3}$ par rapport à

x

$x$ est

4 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 3

$n = 3$ .

f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez

3

$3$ par

4

$4$ .

f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Évaluez

\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme

- 12

$- 12$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 12 x^{2}

$- 12 x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 2

$n = 2$ .

f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez

2

$2$ par

- 12

$- 12$ .

f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de

f (x)

$f (x)$ par rapport à

x

$x$ est

12 x^{2} - 24 x

$12 x^{2} - 24 x$ .

12 x^{2} - 24 x

$12 x^{2} - 24 x$

12 x^{2} - 24 x

$12 x^{2} - 24 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à

0

$0$ puis résolvez l’équation

12 x^{2} - 24 x = 0

$12 x^{2} - 24 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à

0

$0$ .

12 x^{2} - 24 x = 0

$12 x^{2} - 24 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez

12 x

$12 x$ à partir de

12 x^{2} - 24 x

$12 x^{2} - 24 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez

12 x

$12 x$ à partir de

12 x^{2}

$12 x^{2}$ .

12 x (x) - 24 x = 0

$12 x (x) - 24 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez

12 x

$12 x$ à partir de

- 24 x

$- 24 x$ .

12 x (x) + 12 x (- 2) = 0

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez

12 x

$12 x$ à partir de

12 x (x) + 12 x (- 2)

$12 x (x) + 12 x (- 2)$ .

12 x (x - 2) = 0

$12 x (x - 2) = 0$

12 x (x - 2) = 0

$12 x (x - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez

x

$x$ égal à

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez

x - 2

$x - 2$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez

x - 2

$x - 2$ égal à

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez

2

$2$ aux deux côtés de l’équation.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

12 x (x - 2) = 0

$12 x (x - 2) = 0$ vraie.

x = 0, 2

$x = 0, 2$

x = 0, 2

$x = 0, 2$

x = 0, 2

$x = 0, 2$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs

$x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle

$(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable

$x$ par

$- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez

$- 2$ à la puissance

$2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 - 24 \cdot - 2$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

$12$ par

$4$ .

$f'' (- 2) = 48 - 24 \cdot - 2$

Étape 4.2.1.3

Multipliez

$- 24$ par

$- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48$

Étape 4.2.2

Additionnez

$48$ et

$48$ .

$f'' (- 2) = 96$

Étape 4.2.3

La réponse finale est

$96$ .

$96$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle

$(- \infty, 0)$ car

$f'' (- 2)$ est positif.

Concave vers le haut sur

$(- \infty, 0)$ car

$f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur

$(- \infty, 0)$ car

$f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle

$(0, 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable

$x$ par

$1$ dans l’expression.

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Étape 5.2.1.2

Multipliez

$12$ par

$1$ .

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

Étape 5.2.1.3

Multipliez

$- 24$ par

$1$ .

$f'' (1) = 12 - 24$

Étape 5.2.2

Soustrayez

$24$ de

$12$ .

$f'' (1) = - 12$

Étape 5.2.3

La réponse finale est

$- 12$ .

$- 12$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle

$(0, 2)$ car

$f'' (1)$ est négatif.

Concave vers le bas sur

$(0, 2)$ car

$f'' (x)$ est négatif

Concave vers le bas sur

$(0, 2)$ car

$f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle

$(2, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable

$x$ par

$4$ dans l’expression.

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez

$4$ à la puissance

$2$ .

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 24 \cdot 4$

Étape 6.2.1.2

Multipliez

$12$ par

$16$ .

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 4$

Étape 6.2.1.3

Multipliez

$- 24$ par

$4$ .

$f'' (4) = 192 - 96$

Étape 6.2.2

Soustrayez

$96$ de

$192$ .

$f'' (4) = 96$

Étape 6.2.3

La réponse finale est

$96$ .

$96$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle

$(2, \infty)$ car

$f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur

$(2, \infty)$ car

$f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur

$(2, \infty)$ car

$f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur

$(- \infty, 0)$ car

$f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur

$(0, 2)$ car

$f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur

$(2, \infty)$ car

$f'' (x)$ est positif

Étape 8

Saisissez VOTRE problème