Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{2} - 24 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 24 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} - 24 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2} - 24 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 24 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $- 24 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 - 24 \cdot - 2$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $12$ par $4$ .

$f'' (- 2) = 48 - 24 \cdot - 2$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48$

Étape 4.2.2

Additionnez $48$ et $48$ .

$f'' (- 2) = 96$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $96$ .

$96$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ car $f'' (- 2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24$

Étape 5.2.2

Soustrayez $24$ de $12$ .

$f'' (1) = - 12$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, 2)$ car $f'' (1)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 24 \cdot 4$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $16$ .

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 4$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $4$ .

$f'' (4) = 192 - 96$

Étape 6.2.2

Soustrayez $96$ de $192$ .

$f'' (4) = 96$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $96$ .

$96$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(2, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(0, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Saisissez VOTRE problème