Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = x^{4} - 6

$f (x) = x^{4} - 6$

Étape 1

Find the

$x$ values where the second derivative is equal to

$0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

$x^{4} - 6$ par rapport à

$x$ est

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.3

Comme

$- 6$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- 6$ par rapport à

$x$ est

$0$ .

$4 x^{3} + 0$

Étape 1.1.1.4

Additionnez

$4 x^{3}$ et

$0$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Comme

$4$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$4 x^{3}$ par rapport à

$x$ est

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 3$ .

$4 (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez

$3$ par

$4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de

$f (x)$ par rapport à

$x$ est

$12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à

$0$ puis résolvez l’équation

$12 x^{2} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à

$0$ .

$12 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans

$12 x^{2} = 0$ par

$12$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans

$12 x^{2} = 0$ par

$12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de

$12$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez

$x^{2}$ par

$1$ .

$x^{2} = \frac{0}{12}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez

$0$ par

$12$ .

$x^{2} = 0$

Étape 1.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

$\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez

$0$ comme

$0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.4.3

Plus ou moins

$0$ est

$0$ .

$x = 0$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs

$x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle

$(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable

$x$ par

$- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Élevez

$- 2$ à la puissance

$2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4$

Étape 4.2.2

Multipliez

$12$ par

$4$ .

$f'' (- 2) = 48$

Étape 4.2.3

La réponse finale est

$48$ .

$48$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle

$(- \infty, 0)$ car

$f'' (- 2)$ est positif.

Concave vers le haut sur

$(- \infty, 0)$ car

$f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur

$(- \infty, 0)$ car

$f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle

$(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable

$x$ par

$2$ dans l’expression.

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$f'' (2) = 12 \cdot 4$

Étape 5.2.2

Multipliez

$12$ par

$4$ .

$f'' (2) = 48$

Étape 5.2.3

La réponse finale est

$48$ .

$48$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle

$(0, \infty)$ car

$f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur

$(0, \infty)$ car

$f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur

$(0, \infty)$ car

$f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur

$(- \infty, 0)$ car

$f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur

$(0, \infty)$ car

$f'' (x)$ est positif

Étape 7

Saisissez VOTRE problème