Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x^{2} + 6 x$ , $(- 3, 18)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 3$ et $y = 18$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 x + 6 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$8 x + 6$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = - 3$ .

$8 (- 3) + 6$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $8$ par $- 3$ .

$- 24 + 6$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 24$ et $6$ .

$- 18$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 18$ et un point donné, tel que $(- 3, 18)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (18) = - 18 \cdot (x - (- 3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 18 = - 18 \cdot (x + 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 18 \cdot (x + 3)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 18 = 0 + 0 - 18 \cdot (x + 3)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 18 = - 18 \cdot (x + 3)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 18 = - 18 x - 18 \cdot 3$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$y - 18 = - 18 x - 54$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 18 x - 54 + 18$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 54$ et $18$ .

$y = - 18 x - 36$

Étape 3

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