Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 4 x - 8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 8 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x - 8$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} + 4 x - 8$ .

$4 x^{3} + 4 x - 8$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} + 4 x - 8 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} + 4 x - 8 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} + 4 x - 8$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) + 4 x - 8 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (x) - 8 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$4 (x^{3}) + 4 x + 4 \cdot - 2 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3}) + 4 x$ .

$4 (x^{3} + x) + 4 \cdot - 2 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3} + x) + 4 \cdot - 2$ .

$4 (x^{3} + x - 2) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{3} + x - 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 2.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2$

Étape 2.2.2.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} + 1 - 2$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 + 1 - 2$

Étape 2.2.2.1.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - 2$

Étape 2.2.2.1.3.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0$

Étape 2.2.2.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1}$

Étape 2.2.2.1.5

Divisez $x^{3} + x - 2$ par $x - 1$ .

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Étape 2.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Étape 2.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Étape 2.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 2.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 2.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Étape 2.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 2.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Étape 2.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Étape 2.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Étape 2.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Étape 2.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x - 2$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Étape 2.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Étape 2.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x + 2$

Étape 2.2.2.1.6

Écrivez $x^{3} + x - 2$ comme un ensemble de facteurs.

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 2)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} + x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} + x + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + x + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} + x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.3

Soustrayez $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2}$

Étape 2.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2}$

Étape 2.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.3

Soustrayez $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2}$

Étape 2.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2}$

Étape 2.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $1$ .

$1$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 4 x^{3} + 4 x - 8$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ augmente et diminue est $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} + 4 (0) - 8$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 + 4 (0) - 8$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 4 (0) - 8$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 8$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 - 8$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $8$ de $0$ .

$f' (0) = - 8$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 8$ .

$- 8$

Étape 5.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $- 8$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 1)$ .

Diminue sur $(- \infty, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} + 4 (2) - 8$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 + 4 (2) - 8$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$f' (2) = 32 + 4 (2) - 8$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$f' (2) = 32 + 8 - 8$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $32$ et $8$ .

$f' (2) = 40 - 8$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $8$ de $40$ .

$f' (2) = 32$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $32$ .

$32$

Étape 6.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $32$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(1, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 1)$

Étape 8

Saisissez VOTRE problème