Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 36

$f (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 36$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x^{4} - 12 x^{2} + 36

$x^{4} - 12 x^{2} + 36$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 4

$n = 4$ .

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Étape 1.1.2

Évaluez

\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme

- 12

$- 12$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 12 x^{2}

$- 12 x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 2

$n = 2$ .

4 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez

2

$2$ par

- 12

$- 12$ .

4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]$

4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme

36

$36$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

36

$36$ par rapport à

x

$x$ est

0

$0$ .

4 x^{3} - 24 x + 0

$4 x^{3} - 24 x + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$ et

0

$0$ .

f' (x) = 4 x^{3} - 24 x

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

f' (x) = 4 x^{3} - 24 x

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

f' (x) = 4 x^{3} - 24 x

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

Étape 1.2

La dérivée première de

f (x)

$f (x)$ par rapport à

x

$x$ est

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$ .

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à

0

$0$ puis résolvez l’équation

4 x^{3} - 24 x = 0

$4 x^{3} - 24 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à

0

$0$ .

4 x^{3} - 24 x = 0

$4 x^{3} - 24 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez

4 x

$4 x$ à partir de

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez

4 x

$4 x$ à partir de

4 x^{3}

$4 x^{3}$ .

4 x (x^{2}) - 24 x = 0

$4 x (x^{2}) - 24 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez

4 x

$4 x$ à partir de

- 24 x

$- 24 x$ .

4 x (x^{2}) + 4 x (- 6) = 0

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez

4 x

$4 x$ à partir de

4 x (x^{2}) + 4 x (- 6)

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6)$ .

4 x (x^{2} - 6) = 0

$4 x (x^{2} - 6) = 0$

4 x (x^{2} - 6) = 0

$4 x (x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x^{2} - 6 = 0

$x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.4

Définissez

x

$x$ égal à

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez

x^{2} - 6

$x^{2} - 6$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez

x^{2} - 6

$x^{2} - 6$ égal à

0

$0$ .

x^{2} - 6 = 0

$x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez

x^{2} - 6 = 0

$x^{2} - 6 = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez

6

$6$ aux deux côtés de l’équation.

x^{2} = 6

$x^{2} = 6$

Étape 2.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

x = \pm \sqrt{6}

$x = \pm \sqrt{6}$

Étape 2.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

\pm

$\pm$ pour déterminer la première solution.

x = \sqrt{6}

$x = \sqrt{6}$

Étape 2.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

\pm

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

x = - \sqrt{6}

$x = - \sqrt{6}$

Étape 2.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

4 x (x^{2} - 6) = 0

$4 x (x^{2} - 6) = 0$ vraie.

x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à

0

$0$ sont

0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$ .

0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}

$0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 4

Divisez

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs

x

$x$ qui rendent la dérivée

0

$0$ ou indéfinie.

(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle

(- \infty, - \sqrt{6})

$(- \infty, - \sqrt{6})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

- 3.4494898

$- 3.4494898$ dans l’expression.

f' (- 3.4494898) = 4 {(- 3.4494898)}^{3} - 24 \cdot - 3.4494898

$f' (- 3.4494898) = 4 {(- 3.4494898)}^{3} - 24 \cdot - 3.4494898$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez

- 3.4494898

$- 3.4494898$ à la puissance

3

$3$ .

f' (- 3.4494898) = 4 \cdot - 41.04540972 - 24 \cdot - 3.4494898

$f' (- 3.4494898) = 4 \cdot - 41.04540972 - 24 \cdot - 3.4494898$

Étape 5.2.1.2

Multipliez

4

$4$ par

- 41.04540972

$- 41.04540972$ .

f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 - 24 \cdot - 3.4494898

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 - 24 \cdot - 3.4494898$

Étape 5.2.1.3

Multipliez

- 24

$- 24$ par

- 3.4494898

$- 3.4494898$ .

f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 + 82.7877552

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 + 82.7877552$

f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 + 82.7877552

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 + 82.7877552$

Étape 5.2.2

Additionnez

- 164.18163891

$- 164.18163891$ et

82.7877552

$82.7877552$ .

f' (- 3.4494898) = - 81.39388371

$f' (- 3.4494898) = - 81.39388371$

Étape 5.2.3

La réponse finale est

- 81.39388371

$- 81.39388371$ .

- 81.39388371

$- 81.39388371$

- 81.39388371

$- 81.39388371$

Étape 5.3

Sur

x = - 3.4494898

$x = - 3.4494898$ la dérivée est

- 81.39388371

$- 81.39388371$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur

(- \infty, - \sqrt{6})

$(- \infty, - \sqrt{6})$ .

Diminue sur

(- \infty, - \sqrt{6})

$(- \infty, - \sqrt{6})$ depuis

f' (x) < 0

$f' (x) < 0$

Diminue sur

(- \infty, - \sqrt{6})

$(- \infty, - \sqrt{6})$ depuis

f' (x) < 0

$f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle

(- 2.4494898, 0)

$(- 2.4494898, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

- 1.2247449

$- 1.2247449$ dans l’expression.

f' (- 1.2247449) = 4 {(- 1.2247449)}^{3} - 24 \cdot - 1.2247449

$f' (- 1.2247449) = 4 {(- 1.2247449)}^{3} - 24 \cdot - 1.2247449$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez

- 1.2247449

$- 1.2247449$ à la puissance

3

$3$ .

f' (- 1.2247449) = 4 \cdot - 1.83711743 - 24 \cdot - 1.2247449

$f' (- 1.2247449) = 4 \cdot - 1.83711743 - 24 \cdot - 1.2247449$

Étape 6.2.1.2

Multipliez

4

$4$ par

- 1.83711743

$- 1.83711743$ .

f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 - 24 \cdot - 1.2247449

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 - 24 \cdot - 1.2247449$

Étape 6.2.1.3

Multipliez

- 24

$- 24$ par

- 1.2247449

$- 1.2247449$ .

f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 + 29.3938776

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 + 29.3938776$

f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 + 29.3938776

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 + 29.3938776$

Étape 6.2.2

Additionnez

- 7.34846974

$- 7.34846974$ et

29.3938776

$29.3938776$ .

f' (- 1.2247449) = 22.04540785

$f' (- 1.2247449) = 22.04540785$

Étape 6.2.3

La réponse finale est

22.04540785

$22.04540785$ .

22.04540785

$22.04540785$

22.04540785

$22.04540785$

Étape 6.3

Sur

x = - 1.2247449

$x = - 1.2247449$ la dérivée est

22.04540785

$22.04540785$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur

(- 2.4494898, 0)

$(- 2.4494898, 0)$ .

Augmente sur

(- \sqrt{6}, 0)

$(- \sqrt{6}, 0)$ depuis

f' (x) > 0

$f' (x) > 0$

Augmente sur

(- \sqrt{6}, 0)

$(- \sqrt{6}, 0)$ depuis

f' (x) > 0

$f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle

(0, \sqrt{6})

$(0, \sqrt{6})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

1.2247449

$1.2247449$ dans l’expression.

f' (1.2247449) = 4 {(1.2247449)}^{3} - 24 \cdot 1.2247449

$f' (1.2247449) = 4 {(1.2247449)}^{3} - 24 \cdot 1.2247449$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez

1.2247449

$1.2247449$ à la puissance

3

$3$ .

f' (1.2247449) = 4 \cdot 1.83711743 - 24 \cdot 1.2247449

$f' (1.2247449) = 4 \cdot 1.83711743 - 24 \cdot 1.2247449$

Étape 7.2.1.2

Multipliez

4

$4$ par

1.83711743

$1.83711743$ .

f' (1.2247449) = 7.34846974 - 24 \cdot 1.2247449

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 24 \cdot 1.2247449$

Étape 7.2.1.3

Multipliez

- 24

$- 24$ par

1.2247449

$1.2247449$ .

f' (1.2247449) = 7.34846974 - 29.3938776

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 29.3938776$

f' (1.2247449) = 7.34846974 - 29.3938776

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 29.3938776$

Étape 7.2.2

Soustrayez

29.3938776

$29.3938776$ de

7.34846974

$7.34846974$ .

f' (1.2247449) = - 22.04540785

$f' (1.2247449) = - 22.04540785$

Étape 7.2.3

La réponse finale est

- 22.04540785

$- 22.04540785$ .

- 22.04540785

$- 22.04540785$

- 22.04540785

$- 22.04540785$

Étape 7.3

Sur

x = 1.2247449

$x = 1.2247449$ la dérivée est

- 22.04540785

$- 22.04540785$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur

(0, \sqrt{6})

$(0, \sqrt{6})$ .

Diminue sur

(0, \sqrt{6})

$(0, \sqrt{6})$ depuis

f' (x) < 0

$f' (x) < 0$

Diminue sur

(0, \sqrt{6})

$(0, \sqrt{6})$ depuis

f' (x) < 0

$f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle

(\sqrt{6}, \infty)

$(\sqrt{6}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

3.4494898

$3.4494898$ dans l’expression.

f' (3.4494898) = 4 {(3.4494898)}^{3} - 24 \cdot 3.4494898

$f' (3.4494898) = 4 {(3.4494898)}^{3} - 24 \cdot 3.4494898$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez

3.4494898

$3.4494898$ à la puissance

3

$3$ .

f' (3.4494898) = 4 \cdot 41.04540972 - 24 \cdot 3.4494898

$f' (3.4494898) = 4 \cdot 41.04540972 - 24 \cdot 3.4494898$

Étape 8.2.1.2

Multipliez

4

$4$ par

41.04540972

$41.04540972$ .

f' (3.4494898) = 164.18163891 - 24 \cdot 3.4494898

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 24 \cdot 3.4494898$

Étape 8.2.1.3

Multipliez

- 24

$- 24$ par

3.4494898

$3.4494898$ .

f' (3.4494898) = 164.18163891 - 82.7877552

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 82.7877552$

f' (3.4494898) = 164.18163891 - 82.7877552

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 82.7877552$

Étape 8.2.2

Soustrayez

82.7877552

$82.7877552$ de

164.18163891

$164.18163891$ .

f' (3.4494898) = 81.39388371

$f' (3.4494898) = 81.39388371$

Étape 8.2.3

La réponse finale est

81.39388371

$81.39388371$ .

81.39388371

$81.39388371$

81.39388371

$81.39388371$

Étape 8.3

Sur

x = 3.4494898

$x = 3.4494898$ la dérivée est

81.39388371

$81.39388371$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur

(\sqrt{6}, \infty)

$(\sqrt{6}, \infty)$ .

Augmente sur

(\sqrt{6}, \infty)

$(\sqrt{6}, \infty)$ depuis

f' (x) > 0

$f' (x) > 0$

Augmente sur

(\sqrt{6}, \infty)

$(\sqrt{6}, \infty)$ depuis

f' (x) > 0

$f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur :

(- \sqrt{6}, 0), (\sqrt{6}, \infty)

$(- \sqrt{6}, 0), (\sqrt{6}, \infty)$

Diminue sur :

(- \infty, - \sqrt{6}), (0, \sqrt{6})

$(- \infty, - \sqrt{6}), (0, \sqrt{6})$

Étape 10

Saisissez VOTRE problème