Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = x^{4} - 6

$f (x) = x^{4} - 6$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x^{4} - 6

$x^{4} - 6$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 4

$n = 4$ .

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.3

Comme

- 6

$- 6$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 6

$- 6$ par rapport à

x

$x$ est

0

$0$ .

4 x^{3} + 0

$4 x^{3} + 0$

Étape 1.1.4

Additionnez

4 x^{3}

$4 x^{3}$ et

0

$0$ .

f' (x) = 4 x^{3}

$f' (x) = 4 x^{3}$

f' (x) = 4 x^{3}

$f' (x) = 4 x^{3}$

Étape 1.2

La dérivée première de

f (x)

$f (x)$ par rapport à

x

$x$ est

4 x^{3}

$4 x^{3}$ .

4 x^{3}

$4 x^{3}$

4 x^{3}

$4 x^{3}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à

0

$0$ puis résolvez l’équation

4 x^{3} = 0

$4 x^{3} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à

0

$0$ .

4 x^{3} = 0

$4 x^{3} = 0$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans

4 x^{3} = 0

$4 x^{3} = 0$ par

4

$4$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans

4 x^{3} = 0

$4 x^{3} = 0$ par

4

$4$ .

\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de

4

$4$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez

$x^{3}$ par

$1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez

$0$ par

$4$ .

$x^{3} = 0$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.4

Simplifiez

$\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez

$0$ comme

$0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à

$0$ sont

$0$ .

$0$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée

$f' (x) = 4 x^{3}$ égale à

$0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où

$f (x) = x^{4} - 6$ augmente et diminue est

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle

$(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable

$x$ par

$- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Élevez

$- 1$ à la puissance

$3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1$

Étape 5.2.2

Multipliez

$4$ par

$- 1$ .

$f' (- 1) = - 4$

Étape 5.2.3

La réponse finale est

$- 4$ .

$- 4$

Étape 5.3

Sur

$x = - 1$ la dérivée est

$- 4$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur

$(- \infty, 0)$ .

Diminue sur

$(- \infty, 0)$ depuis

$f' (x) < 0$

Diminue sur

$(- \infty, 0)$ depuis

$f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle

$(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable

$x$ par

$1$ dans l’expression.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 4 \cdot 1$

Étape 6.2.2

Multipliez

$4$ par

$1$ .

$f' (1) = 4$

Étape 6.2.3

La réponse finale est

$4$ .

$4$

Étape 6.3

Sur

$x = 1$ la dérivée est

$4$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur

$(0, \infty)$ .

Augmente sur

$(0, \infty)$ depuis

$f' (x) > 0$

Augmente sur

$(0, \infty)$ depuis

$f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur :

$(0, \infty)$

Diminue sur :

$(- \infty, 0)$

Étape 8

Saisissez VOTRE problème