Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 5 x - 6$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2} - 5 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 5 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 5 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $3 x^{2} + 6 x - 5$ et $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 5$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ et résolvez pour $x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = 6$ et $c = - 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 5)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 5$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.1.3

Additionnez $36$ et $60$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez $96$ comme $4^{2} \cdot 6$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $96$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{6}}{6}$

Étape 2.3.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{6}}{6}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 5$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.1.3

Additionnez $36$ et $60$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.1.4

Réécrivez $96$ comme $4^{2} \cdot 6$ .

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Étape 2.4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $96$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{6}}{6}$

Étape 2.4.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{6}}{6}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + 2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.4.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $2 \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 2 \sqrt{6})}{3}$

Étape 2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- 2 \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 2 \sqrt{6})}{3}$

Étape 2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 5$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.3

Additionnez $36$ et $60$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $96$ comme $4^{2} \cdot 6$ .

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Étape 2.5.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $96$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{6}}{6}$

Étape 2.5.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{6}}{6}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - 2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.5.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{6})}{3}$

Étape 2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (2 \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 2 \sqrt{6})}{3}$

Étape 2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}, - \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 3

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) \cup (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}, - \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) \cup (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre, tel que $- 5$ , de l’intervalle $(- \infty, - \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})$ dans la dérivée première $3 x^{2} + 6 x - 5$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = 3 {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) - 5$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = 3 \cdot 25 + 6 (- 5) - 5$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $25$ .

$f' (- 5) = 75 + 6 (- 5) - 5$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 5$ .

$f' (- 5) = 75 - 30 - 5$

Étape 4.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $30$ de $75$ .

$f' (- 5) = 45 - 5$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $5$ de $45$ .

$f' (- 5) = 40$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $40$ .

$40$

Étape 5

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}, - \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})$ dans la dérivée première $3 x^{2} + 6 x - 5$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} + 6 (0) - 5$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 + 6 (0) - 5$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 6 (0) - 5$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 5$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 - 5$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $5$ de $0$ .

$f' (0) = - 5$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 5$ .

$- 5$

Étape 6

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}, \infty)$ dans la dérivée première $3 x^{2} + 6 x - 5$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} + 6 (3) - 5$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} + 6 (3) - 5$

Étape 6.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (3) = 3^{1 + 2} + 6 (3) - 5$

Étape 6.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (3) = 3^{3} + 6 (3) - 5$

Étape 6.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (3) = 27 + 6 (3) - 5$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $6$ par $3$ .

$f' (3) = 27 + 18 - 5$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $27$ et $18$ .

$f' (3) = 45 - 5$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $5$ de $45$ .

$f' (3) = 40$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $40$ .

$40$

Étape 7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}$ , il y a un changement de sens sur $x = - \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}$ .

Étape 8

Déterminez la coordonnée y de $- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}$ afin de déterminer le changement de sens.

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Étape 8.1

Déterminez $f (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})$ afin de déterminer la coordonnée y de $- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}$ .

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Étape 8.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) = {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2

Simplifiez ${(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$ .

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Étape 8.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

${(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.1.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{{(3 + 2 \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{{(3 + 2 \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{{(3 + 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.4

Utilisez le théorème du binôme.

$- \frac{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.2.2.5.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{27 + 3 \cdot 3^{2} (2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.2.2.5.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 8.1.2.2.5.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$- \frac{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{27 + 3^{1 + 2} (2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{27 + 3^{3} (2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{27 + 27 (2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.4

Multipliez $2$ par $27$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 9 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.6

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{6}$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 9 (2^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 9 (4 {\sqrt{6}}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.8

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 8.1.2.2.5.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 9 (4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 9 (4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 9 (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.2.5.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 9 (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 9 (4 \cdot 6^{1}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.8.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 9 (4 \cdot 6) + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.9

Multipliez $9 (4 \cdot 6)$ .

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Étape 8.1.2.2.5.9.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 9 \cdot 24 + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.9.2

Multipliez $9$ par $24$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 216 + {(2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.10

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{6}$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 216 + 2^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 216 + 8 {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.12

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 216 + 8 \sqrt{6^{3}}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.13

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 216 + 8 \sqrt{216}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.14

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 8.1.2.2.5.14.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 216 + 8 \sqrt{36 (6)}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.14.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 216 + 8 \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 216 + 8 (6 \sqrt{6})}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.5.16

Multipliez $6$ par $8$ .

$- \frac{27 + 54 \sqrt{6} + 216 + 48 \sqrt{6}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.6

Additionnez $27$ et $216$ .

$- \frac{243 + 54 \sqrt{6} + 48 \sqrt{6}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.7

Additionnez $54 \sqrt{6}$ et $48 \sqrt{6}$ .

$- \frac{243 + 102 \sqrt{6}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.8

Annulez le facteur commun à $243 + 102 \sqrt{6}$ et $27$ .

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Étape 8.1.2.2.8.1

Factorisez $3$ à partir de $243$ .

$- \frac{3 (81) + 102 \sqrt{6}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.8.2

Factorisez $3$ à partir de $102 \sqrt{6}$ .

$- \frac{3 (81) + 3 (34 \sqrt{6})}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.8.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (81) + 3 (34 \sqrt{6})$ .

$- \frac{3 (81 + 34 \sqrt{6})}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1.2.2.8.4.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$- \frac{3 (81 + 34 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 (81 + 34 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.1.2.2.9.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + 3 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 + 2 \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.10

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + 3 (1 \frac{{(3 + 2 \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.11

Multipliez $\frac{{(3 + 2 \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + 3 \frac{{(3 + 2 \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + 3 \frac{{(3 + 2 \sqrt{6})}^{2}}{9} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.1.2.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + 3 \frac{{(3 + 2 \sqrt{6})}^{2}}{3 (3)} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + 3 \frac{{(3 + 2 \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{{(3 + 2 \sqrt{6})}^{2}}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.14

Réécrivez ${(3 + 2 \sqrt{6})}^{2}$ comme $(3 + 2 \sqrt{6}) (3 + 2 \sqrt{6})$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{(3 + 2 \sqrt{6}) (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.15

Développez $(3 + 2 \sqrt{6}) (3 + 2 \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.1.2.2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (3 + 2 \sqrt{6}) + 2 \sqrt{6} (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 \cdot 3 + 3 (2 \sqrt{6}) + 2 \sqrt{6} (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 \cdot 3 + 3 (2 \sqrt{6}) + 2 \sqrt{6} \cdot 3 + 2 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.2.16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.2.2.16.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 3 (2 \sqrt{6}) + 2 \sqrt{6} \cdot 3 + 2 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} \cdot 3 + 2 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.1.4

Multipliez $2 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$ .

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Étape 8.1.2.2.16.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} \sqrt{6}}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.1.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 4 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.1.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 4 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 4 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 4 {\sqrt{6}}^{2}}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 8.1.2.2.16.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.2.2.16.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 4 \cdot 6^{1}}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 4 \cdot 6}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.1.6

Multipliez $4$ par $6$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 24}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.2

Additionnez $9$ et $24$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{33 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6}}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.16.3

Additionnez $6 \sqrt{6}$ et $6 \sqrt{6}$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{33 + 12 \sqrt{6}}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.17

Annulez le facteur commun à $33 + 12 \sqrt{6}$ et $3$ .

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Étape 8.1.2.2.17.1

Factorisez $3$ à partir de $33$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 \cdot 11 + 12 \sqrt{6}}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.17.2

Factorisez $3$ à partir de $12 \sqrt{6}$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 \cdot 11 + 3 (4 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.17.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (11) + 3 (4 \sqrt{6})$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.17.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1.2.2.17.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6})}{3 (1)} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.17.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6})}{3 \cdot 1} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.17.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{11 + 4 \sqrt{6}}{1} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.17.4.4

Divisez $11 + 4 \sqrt{6}$ par $1$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + 11 + 4 \sqrt{6} - 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 8.1.2.2.18

Multipliez $- 5 (- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3})$ .

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Étape 8.1.2.2.18.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + 11 + 4 \sqrt{6} + 5 \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3} - 6$

Étape 8.1.2.2.18.2

Associez $5$ et $\frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + 11 + 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 8.1.2.3

Pour écrire $11$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + 11 \cdot \frac{9}{9} + 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 8.1.2.4

Associez les fractions.

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Étape 8.1.2.4.1

Associez $11$ et $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{81 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{11 \cdot 9}{9} + 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 8.1.2.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1.2.4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (81 + 34 \sqrt{6}) + 11 \cdot 9}{9} + 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 8.1.2.4.2.2

Multipliez $11$ par $9$ .

$\frac{- (81 + 34 \sqrt{6}) + 99}{9} + 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 8.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 81 - (34 \sqrt{6}) + 99}{9} + 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 8.1.2.5.2

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$\frac{- 81 - (34 \sqrt{6}) + 99}{9} + 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 8.1.2.5.3

Multipliez $34$ par $- 1$ .

$\frac{- 81 - 34 \sqrt{6} + 99}{9} + 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 8.1.2.5.4

Additionnez $- 81$ et $99$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6}}{9} + 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 8.1.2.6

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 8.1.2.6.1

Écrivez $4 \sqrt{6}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{4 \sqrt{6}}{1} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 8.1.2.6.2

Multipliez $\frac{4 \sqrt{6}}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{4 \sqrt{6}}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 8.1.2.6.3

Multipliez $\frac{4 \sqrt{6}}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{4 \sqrt{6} \cdot 9}{9} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 8.1.2.6.4

Multipliez $\frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{4 \sqrt{6} \cdot 9}{9} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3} \cdot \frac{3}{3} - 6$

Étape 8.1.2.6.5

Multipliez $\frac{5 (3 + 2 \sqrt{6})}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{4 \sqrt{6} \cdot 9}{9} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} - 6$

Étape 8.1.2.6.6

Écrivez $- 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{4 \sqrt{6} \cdot 9}{9} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 6}{1}$

Étape 8.1.2.6.7

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{4 \sqrt{6} \cdot 9}{9} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 8.1.2.6.8

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{4 \sqrt{6} \cdot 9}{9} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 6 \cdot 9}{9}$

Étape 8.1.2.6.9

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{4 \sqrt{6} \cdot 9}{9} + \frac{5 (3 + 2 \sqrt{6}) \cdot 3}{9} + \frac{- 6 \cdot 9}{9}$

Étape 8.1.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{18 - 34 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} \cdot 9 + 5 (3 + 2 \sqrt{6}) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 8.1.2.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.2.8.1

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} + 5 (3 + 2 \sqrt{6}) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 8.1.2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 - 34 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} + (5 \cdot 3 + 5 (2 \sqrt{6})) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 8.1.2.8.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} + (15 + 5 (2 \sqrt{6})) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 8.1.2.8.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} + (15 + 10 \sqrt{6}) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 8.1.2.8.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 - 34 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} + 15 \cdot 3 + 10 \sqrt{6} \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 8.1.2.8.6

Multipliez $15$ par $3$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} + 45 + 10 \sqrt{6} \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 8.1.2.8.7

Multipliez $3$ par $10$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} + 45 + 30 \sqrt{6} - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 8.1.2.8.8

Multipliez $- 6$ par $9$ .

$\frac{18 - 34 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} + 45 + 30 \sqrt{6} - 54}{9}$

Étape 8.1.2.9

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 8.1.2.9.1

Additionnez $18$ et $45$ .

$\frac{63 - 34 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6} - 54}{9}$

Étape 8.1.2.9.2

Soustrayez $54$ de $63$ .

$\frac{9 - 34 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6}}{9}$

Étape 8.1.2.9.3

Additionnez $- 34 \sqrt{6}$ et $36 \sqrt{6}$ .

$\frac{9 + 2 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6}}{9}$

Étape 8.1.2.9.4

Additionnez $2 \sqrt{6}$ et $30 \sqrt{6}$ .

$\frac{9 + 32 \sqrt{6}}{9}$

Étape 8.2

Écrivez les coordonnées $x$ et $y$ dans la forme de point.

$(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}, \frac{9 + 32 \sqrt{6}}{9})$

Étape 9

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}$ , il y a un changement de sens sur $x = - \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}$ .

Étape 10

Déterminez la coordonnée y de $- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}$ afin de déterminer le changement de sens.

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Étape 10.1

Déterminez $f (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})$ afin de déterminer la coordonnée y de $- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}$ .

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Étape 10.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) = {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2

Simplifiez ${(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$ .

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Étape 10.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

${(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 10.1.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{{(3 - 2 \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{{(3 - 2 \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{{(3 - 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.4

Utilisez le théorème du binôme.

$- \frac{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{6})}^{2} + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.2.2.5.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{27 + 3 \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{6})}^{2} + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.2.2.5.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 10.1.2.2.5.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$- \frac{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{6})}^{2} + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{27 + 3^{1 + 2} (- 2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{6})}^{2} + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{27 + 3^{3} (- 2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{6})}^{2} + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{27 + 27 (- 2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{6})}^{2} + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.4

Multipliez $- 2$ par $27$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{6})}^{2} + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 9 {(- 2 \sqrt{6})}^{2} + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.6

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{6}$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 9 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.7

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 9 (4 {\sqrt{6}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.8

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 10.1.2.2.5.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 9 (4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 9 (4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 9 (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.2.2.5.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 9 (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 9 (4 \cdot 6^{1}) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.8.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 9 (4 \cdot 6) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.9

Multipliez $9 (4 \cdot 6)$ .

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Étape 10.1.2.2.5.9.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 9 \cdot 24 + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.9.2

Multipliez $9$ par $24$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 216 + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.10

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{6}$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 216 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.11

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 216 - 8 {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.12

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 216 - 8 \sqrt{6^{3}}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.13

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 216 - 8 \sqrt{216}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.14

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 10.1.2.2.5.14.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 216 - 8 \sqrt{36 (6)}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.14.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 216 - 8 \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 216 - 8 (6 \sqrt{6})}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.5.16

Multipliez $6$ par $- 8$ .

$- \frac{27 - 54 \sqrt{6} + 216 - 48 \sqrt{6}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.6

Additionnez $27$ et $216$ .

$- \frac{243 - 54 \sqrt{6} - 48 \sqrt{6}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.7

Soustrayez $48 \sqrt{6}$ de $- 54 \sqrt{6}$ .

$- \frac{243 - 102 \sqrt{6}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.8

Annulez le facteur commun à $243 - 102 \sqrt{6}$ et $27$ .

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Étape 10.1.2.2.8.1

Factorisez $3$ à partir de $243$ .

$- \frac{3 (81) - 102 \sqrt{6}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.8.2

Factorisez $3$ à partir de $- 102 \sqrt{6}$ .

$- \frac{3 (81) + 3 (- 34 \sqrt{6})}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.8.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (81) + 3 (- 34 \sqrt{6})$ .

$- \frac{3 (81 - 34 \sqrt{6})}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.2.2.8.4.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$- \frac{3 (81 - 34 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 (81 - 34 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 10.1.2.2.9.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + 3 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 - 2 \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.10

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + 3 (1 \frac{{(3 - 2 \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.11

Multipliez $\frac{{(3 - 2 \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + 3 \frac{{(3 - 2 \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + 3 \frac{{(3 - 2 \sqrt{6})}^{2}}{9} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.1.2.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + 3 \frac{{(3 - 2 \sqrt{6})}^{2}}{3 (3)} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + 3 \frac{{(3 - 2 \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{{(3 - 2 \sqrt{6})}^{2}}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.14

Réécrivez ${(3 - 2 \sqrt{6})}^{2}$ comme $(3 - 2 \sqrt{6}) (3 - 2 \sqrt{6})$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{(3 - 2 \sqrt{6}) (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.15

Développez $(3 - 2 \sqrt{6}) (3 - 2 \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.1.2.2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (3 - 2 \sqrt{6}) - 2 \sqrt{6} (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 \cdot 3 + 3 (- 2 \sqrt{6}) - 2 \sqrt{6} (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 \cdot 3 + 3 (- 2 \sqrt{6}) - 2 \sqrt{6} \cdot 3 - 2 \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.1.2.2.16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.2.2.16.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 + 3 (- 2 \sqrt{6}) - 2 \sqrt{6} \cdot 3 - 2 \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} \cdot 3 - 2 \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.1.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.1.4

Multipliez $- 2 \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})$ .

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Étape 10.1.2.2.16.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} \sqrt{6}}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.1.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 4 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.1.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 4 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 4 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 4 {\sqrt{6}}^{2}}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 10.1.2.2.16.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.2.2.16.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 4 \cdot 6^{1}}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 4 \cdot 6}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.1.6

Multipliez $4$ par $6$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 24}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.2

Additionnez $9$ et $24$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{33 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6}}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.16.3

Soustrayez $6 \sqrt{6}$ de $- 6 \sqrt{6}$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{33 - 12 \sqrt{6}}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.17

Annulez le facteur commun à $33 - 12 \sqrt{6}$ et $3$ .

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Étape 10.1.2.2.17.1

Factorisez $3$ à partir de $33$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 \cdot 11 - 12 \sqrt{6}}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.17.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12 \sqrt{6}$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 \cdot 11 + 3 (- 4 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.17.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (11) + 3 (- 4 \sqrt{6})$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6})}{3} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.17.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.2.2.17.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6})}{3 (1)} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.17.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6})}{3 \cdot 1} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.17.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{11 - 4 \sqrt{6}}{1} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.17.4.4

Divisez $11 - 4 \sqrt{6}$ par $1$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + 11 - 4 \sqrt{6} - 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}) - 6$

Étape 10.1.2.2.18

Multipliez $- 5 (- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3})$ .

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Étape 10.1.2.2.18.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + 11 - 4 \sqrt{6} + 5 \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3} - 6$

Étape 10.1.2.2.18.2

Associez $5$ et $\frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + 11 - 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 10.1.2.3

Pour écrire $11$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + 11 \cdot \frac{9}{9} - 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 10.1.2.4

Associez les fractions.

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Étape 10.1.2.4.1

Associez $11$ et $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{81 - 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{11 \cdot 9}{9} - 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 10.1.2.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1.2.4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (81 - 34 \sqrt{6}) + 11 \cdot 9}{9} - 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 10.1.2.4.2.2

Multipliez $11$ par $9$ .

$\frac{- (81 - 34 \sqrt{6}) + 99}{9} - 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 10.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 81 - (- 34 \sqrt{6}) + 99}{9} - 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 10.1.2.5.2

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$\frac{- 81 - (- 34 \sqrt{6}) + 99}{9} - 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 10.1.2.5.3

Multipliez $- 34$ par $- 1$ .

$\frac{- 81 + 34 \sqrt{6} + 99}{9} - 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 10.1.2.5.4

Additionnez $- 81$ et $99$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6}}{9} - 4 \sqrt{6} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 10.1.2.6

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 10.1.2.6.1

Écrivez $- 4 \sqrt{6}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{6}}{1} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 10.1.2.6.2

Multipliez $\frac{- 4 \sqrt{6}}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{6}}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 10.1.2.6.3

Multipliez $\frac{- 4 \sqrt{6}}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{6} \cdot 9}{9} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3} - 6$

Étape 10.1.2.6.4

Multipliez $\frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{6} \cdot 9}{9} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3} \cdot \frac{3}{3} - 6$

Étape 10.1.2.6.5

Multipliez $\frac{5 (3 - 2 \sqrt{6})}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{6} \cdot 9}{9} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} - 6$

Étape 10.1.2.6.6

Écrivez $- 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{6} \cdot 9}{9} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 6}{1}$

Étape 10.1.2.6.7

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{6} \cdot 9}{9} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 10.1.2.6.8

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{6} \cdot 9}{9} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 6 \cdot 9}{9}$

Étape 10.1.2.6.9

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{6} \cdot 9}{9} + \frac{5 (3 - 2 \sqrt{6}) \cdot 3}{9} + \frac{- 6 \cdot 9}{9}$

Étape 10.1.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{18 + 34 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} \cdot 9 + 5 (3 - 2 \sqrt{6}) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 10.1.2.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.2.8.1

Multipliez $9$ par $- 4$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6} - 36 \sqrt{6} + 5 (3 - 2 \sqrt{6}) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 10.1.2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 + 34 \sqrt{6} - 36 \sqrt{6} + (5 \cdot 3 + 5 (- 2 \sqrt{6})) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 10.1.2.8.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6} - 36 \sqrt{6} + (15 + 5 (- 2 \sqrt{6})) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 10.1.2.8.4

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6} - 36 \sqrt{6} + (15 - 10 \sqrt{6}) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 10.1.2.8.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 + 34 \sqrt{6} - 36 \sqrt{6} + 15 \cdot 3 - 10 \sqrt{6} \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 10.1.2.8.6

Multipliez $15$ par $3$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6} - 36 \sqrt{6} + 45 - 10 \sqrt{6} \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 10.1.2.8.7

Multipliez $3$ par $- 10$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6} - 36 \sqrt{6} + 45 - 30 \sqrt{6} - 6 \cdot 9}{9}$

Étape 10.1.2.8.8

Multipliez $- 6$ par $9$ .

$\frac{18 + 34 \sqrt{6} - 36 \sqrt{6} + 45 - 30 \sqrt{6} - 54}{9}$

Étape 10.1.2.9

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 10.1.2.9.1

Additionnez $18$ et $45$ .

$\frac{63 + 34 \sqrt{6} - 36 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6} - 54}{9}$

Étape 10.1.2.9.2

Soustrayez $54$ de $63$ .

$\frac{9 + 34 \sqrt{6} - 36 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6}}{9}$

Étape 10.1.2.9.3

Soustrayez $36 \sqrt{6}$ de $34 \sqrt{6}$ .

$\frac{9 - 2 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6}}{9}$

Étape 10.1.2.9.4

Soustrayez $30 \sqrt{6}$ de $- 2 \sqrt{6}$ .

$\frac{9 - 32 \sqrt{6}}{9}$

Étape 10.2

Écrivez les coordonnées $x$ et $y$ dans la forme de point.

$(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}, \frac{9 - 32 \sqrt{6}}{9})$

Étape 11

Ce sont les changements de sens.

$(- \frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3}, \frac{9 + 32 \sqrt{6}}{9})$

$(- \frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3}, \frac{9 - 32 \sqrt{6}}{9})$

Étape 12

Saisissez VOTRE problème