Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.4.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ et $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

Étape 2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx 3.02727941$

Étape 3

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, 3.02727941)$ dans la dérivée première $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $12$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (0) = 1$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 5

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(3.02727941, \infty)$ dans la dérivée première $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $216$ .

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Étape 5.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $12$ par $36$ .

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 864$ et $432$ .

$f' (6) = - 432 + 1$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 432$ et $1$ .

$f' (6) = - 431$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 431$ .

$- 431$

Étape 6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 3.02727941$ , il y a un changement de sens sur $x = 3.02727941$ .

Étape 7

Déterminez la coordonnée y de $3.02727941$ afin de déterminer le changement de sens.

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Étape 7.1

Déterminez $f (3.02727941)$ afin de déterminer la coordonnée y de $3.02727941$ .

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Étape 7.1.1

Remplacez la variable $x$ par $3.02727941$ dans l’expression.

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Étape 7.1.2

Simplifiez $4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ .

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Étape 7.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Étape 7.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.2.2.1

Élevez $3.02727941$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Étape 7.1.2.2.2

Multipliez $4$ par $27.7432619$ .

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Étape 7.1.2.2.3

Élevez $3.02727941$ à la puissance $4$ .

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Étape 7.1.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $83.98660555$ .

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Étape 7.1.2.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.1.2.3.1

Soustrayez $83.98660555$ de $110.9730476$ .

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

Étape 7.1.2.3.2

Additionnez $26.98644204$ et $3.02727941$ .

$30.01372146 + 5$

Étape 7.1.2.3.3

Additionnez $30.01372146$ et $5$ .

$35.01372146$

Étape 7.2

Écrivez les coordonnées $x$ et $y$ dans la forme de point.

$(3.02727941, 35.01372146)$

Étape 8

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