Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} - 5 x + 6$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 5 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$2 x - 5 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 5 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $2 x - 5$ et $0$ .

$2 x - 5$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - 5 = 0$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 5$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ sur $x = \frac{5}{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{5}{2}) = {(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{5^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Étape 4.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Étape 4.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 5 (\frac{5}{2})$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Associez $- 5$ et $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 6$

Étape 4.2.1.4.2

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 6$

Étape 4.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6$

Étape 4.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 6$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 6$

Étape 4.2.2.3

Écrivez $6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1}$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $\frac{6}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $\frac{6}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 + 6 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 + 6 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 + 24}{4}$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $50$ de $25$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 24}{4}$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $- 25$ et $24$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Étape 4.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{1}{4}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ est $y = - \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Étape 6

Saisissez VOTRE problème