Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) - \sin (2 x)}{x - \sin (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \sin (x) - \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Étape 1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Étape 1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Étape 1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Étape 1.2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Étape 1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \sin (0) - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Étape 1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \sin (0) - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Étape 1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Étape 1.2.7.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Étape 1.2.7.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Étape 1.2.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Étape 1.2.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Étape 1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Étape 1.3.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.3.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) - \sin (2 x)}{x - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x) - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x) - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin (x) - \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Étape 3.4.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Étape 3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Étape 3.4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Étape 3.4.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Étape 3.4.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (2 \cos (2 x))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Étape 3.4.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.7.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \cos (0) - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \cos (0) - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.8.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.2.8.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.2.8.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{2 - 2 \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.2.8.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{2 - 2 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.2.8.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.2.8.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 4.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 4.1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 4.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 4.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

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Étape 4.3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3.4.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3.4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3.4.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3.4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3.4.7

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 4.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 4.3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 4.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 4.3.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 4.3.7.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 - - \sin (x)}$

Étape 4.3.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + 1 \sin (x)}$

Étape 4.3.7.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + \sin (x)}$

Étape 4.3.8

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\sin (x)}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} - 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 2 \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.2.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \sin (0) + 4 \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \sin (0) + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.8.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{- 2 \cdot 0 + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.2.8.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{0 + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.2.8.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 + 4 \sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.2.8.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.2.8.1.5

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.2.8.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 5.1.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 5.3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.3.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ .

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Étape 5.3.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.3.4.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.3.4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.3.4.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.3.4.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (2 \cdot \cos (2 x))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.3.4.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.3.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 6.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 2 \cos (x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 6.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 6.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 6.5

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 6.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 6.7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 6.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 2 + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Étape 8.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{- 2 + 8 \cos (0)}{\cos (0)}$

Étape 8.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- 2 + 8 \cdot 1}{\cos (0)}$

Étape 8.1.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{- 2 + 8}{\cos (0)}$

Étape 8.1.6

Additionnez $- 2$ et $8$ .

$\frac{6}{\cos (0)}$

Étape 8.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{6}{1}$

Étape 8.3

Divisez $6$ par $1$ .

$6$

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