Calcul infinitésimal Exemples

lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 4 x - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 4 x - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

x

$x$ approche de

3

$3$ .

\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Étape 1.2.2

Déplacez l’exposant

3

$3$ de

x^{3}

$x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Étape 1.2.3

Placez le terme

4

$4$ hors de la limite car il est constant par rapport à

x

$x$ .

\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Étape 1.2.4

Évaluez la limite de

15

$15$ qui est constante lorsque

x

$x$ approche de

3

$3$ .

\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Étape 1.2.5

Évaluez les limites en insérant

3

$3$ pour toutes les occurrences de

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

3

$3$ pour

x

$x$ .

\frac{3^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{3^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Étape 1.2.5.2

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

3

$3$ pour

x

$x$ .

\frac{3^{3} - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{3^{3} - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

\frac{3^{3} - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{3^{3} - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Étape 1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1.1

Élevez

3

$3$ à la puissance

3

$3$ .

\frac{27 - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{27 - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

3

$3$ .

\frac{27 - 12 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{27 - 12 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Étape 1.2.6.1.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

15

$15$ .

\frac{27 - 12 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{27 - 12 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

\frac{27 - 12 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{27 - 12 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez

12

$12$ de

27

$27$ .

\frac{15 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{15 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Étape 1.2.6.3

Soustrayez

15

$15$ de

15

$15$ .

\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

x

$x$ approche de

3

$3$ .

\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

Étape 1.3.2

Déplacez l’exposant

3

$3$ de

x^{3}

$x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

Étape 1.3.3

Déplacez l’exposant

2

$2$ de

x^{2}

$x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

Étape 1.3.4

Placez le terme

6

$6$ hors de la limite car il est constant par rapport à

x

$x$ .

\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 18}

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 18}$

Étape 1.3.5

Évaluez la limite de

18

$18$ qui est constante lorsque

x

$x$ approche de

3

$3$ .

\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

Étape 1.3.6

Évaluez les limites en insérant

3

$3$ pour toutes les occurrences de

x

$x$ .

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Étape 1.3.6.1

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

3

$3$ pour

x

$x$ .

\frac{0}{3^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}

$\frac{0}{3^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

Étape 1.3.6.2

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

3

$3$ pour

x

$x$ .

\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}

$\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

Étape 1.3.6.3

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

3

$3$ pour

x

$x$ .

\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}

$\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}

$\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

Étape 1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.7.1.1

Élevez

3

$3$ à la puissance

3

$3$ .

\frac{0}{27 + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}

$\frac{0}{27 + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

Étape 1.3.7.1.2

Élevez

3

$3$ à la puissance

2

$2$ .

\frac{0}{27 + 9 - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}

$\frac{0}{27 + 9 - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

Étape 1.3.7.1.3

Multipliez

- 6

$- 6$ par

3

$3$ .

\frac{0}{27 + 9 - 18 - 1 \cdot 18}

$\frac{0}{27 + 9 - 18 - 1 \cdot 18}$

Étape 1.3.7.1.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

18

$18$ .

\frac{0}{27 + 9 - 18 - 18}

$\frac{0}{27 + 9 - 18 - 18}$

\frac{0}{27 + 9 - 18 - 18}

$\frac{0}{27 + 9 - 18 - 18}$

Étape 1.3.7.2

Additionnez

27

$27$ et

9

$9$ .

\frac{0}{36 - 18 - 18}

$\frac{0}{36 - 18 - 18}$

Étape 1.3.7.3

Soustrayez

18

$18$ de

36

$36$ .

\frac{0}{18 - 18}

$\frac{0}{18 - 18}$

Étape 1.3.7.4

Soustrayez

18

$18$ de

18

$18$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.7.5

L’expression contient une division par

0

$0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.8

L’expression contient une division par

0

$0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par

0

$0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x - 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x - 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x - 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x - 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x^{3} - 4 x - 15

$x^{3} - 4 x - 15$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 3

$n = 3$ .

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Étape 3.4

Évaluez

\frac{d}{d x} [- 4 x]

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme

- 4

$- 4$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 4 x

$- 4 x$ par rapport à

x

$x$ est

- 4 \frac{d}{d x} [x]

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Étape 3.4.3

Multipliez

- 4

$- 4$ par

1

$1$ .

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Étape 3.5

Comme

- 15

$- 15$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 15

$- 15$ par rapport à

x

$x$ est

0

$0$ .

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Étape 3.6

Additionnez

3 x^{2} - 4

$3 x^{2} - 4$ et

0

$0$ .

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x^{3} + x^{2} - 6 x - 18

$x^{3} + x^{2} - 6 x - 18$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 3

$n = 3$ .

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 2

$n = 2$ .

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 3.10

Évaluez

\frac{d}{d x} [- 6 x]

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 3.10.1

Comme

- 6

$- 6$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 6 x

$- 6 x$ par rapport à

x

$x$ est

- 6 \frac{d}{d x} [x]

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 3.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 3.10.3

Multipliez

- 6

$- 6$ par

1

$1$ .

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 18]}$

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 18]}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 3.11

Comme

- 18

$- 18$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 18

$- 18$ par rapport à

x

$x$ est

0

$0$ .

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + 0}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + 0}$

Étape 3.12

Additionnez

3 x^{2} + 2 x - 6

$3 x^{2} + 2 x - 6$ et

0

$0$ .

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6}$

lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6}

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque

x

$x$ approche de

3

$3$ .

\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

x

$x$ approche de

3

$3$ .

\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 6

Placez le terme

3

$3$ hors de la limite car il est constant par rapport à

x

$x$ .

\frac{3 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}

$\frac{3 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 7

Déplacez l’exposant

2

$2$ de

x^{2}

$x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 8

Évaluez la limite de

4

$4$ qui est constante lorsque

x

$x$ approche de

3

$3$ .

\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

x

$x$ approche de

3

$3$ .

\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

Étape 10

Placez le terme

3

$3$ hors de la limite car il est constant par rapport à

x

$x$ .

\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

Étape 11

Déplacez l’exposant

2

$2$ de

x^{2}

$x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

Étape 12

Placez le terme

2

$2$ hors de la limite car il est constant par rapport à

x

$x$ .

\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}$

Étape 13

Évaluez la limite de

6

$6$ qui est constante lorsque

x

$x$ approche de

3

$3$ .

\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant

3

$3$ pour toutes les occurrences de

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

3

$3$ pour

x

$x$ .

\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

Étape 14.2

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

3

$3$ pour

x

$x$ .

\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

Étape 14.3

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

3

$3$ pour

x

$x$ .

\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.1

Multipliez

3

$3$ par

3^{2}

$3^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.1.1

Multipliez

3

$3$ par

3^{2}

$3^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.1.1.1

Élevez

3

$3$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Étape 15.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{3^{1 + 2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{3^{1 + 2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

\frac{3^{1 + 2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{3^{1 + 2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Étape 15.1.1.2

Additionnez

1

$1$ et

2

$2$ .

\frac{3^{3} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

\frac{3^{3} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Étape 15.1.2

Élevez

3

$3$ à la puissance

3

$3$ .

\frac{27 - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{27 - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Étape 15.1.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

4

$4$ .

\frac{27 - 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{27 - 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Étape 15.1.4

Soustrayez

4

$4$ de

27

$27$ .

\frac{23}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{23}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

\frac{23}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{23}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Étape 15.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Multipliez

3

$3$ par

3^{2}

$3^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

3^{2}

$3^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1.1

Élevez

3

$3$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{23}{3^{1} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{23}{3^{1} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Étape 15.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{23}{3^{1 + 2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{23}{3^{1 + 2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

\frac{23}{3^{1 + 2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{23}{3^{1 + 2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Étape 15.2.1.2

Additionnez

1

$1$ et

2

$2$ .

\frac{23}{3^{3} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{23}{3^{3} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

\frac{23}{3^{3} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{23}{3^{3} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Étape 15.2.2

Élevez

3

$3$ à la puissance

3

$3$ .

\frac{23}{27 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}

$\frac{23}{27 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Étape 15.2.3

Multipliez

2

$2$ par

3

$3$ .

\frac{23}{27 + 6 - 1 \cdot 6}

$\frac{23}{27 + 6 - 1 \cdot 6}$

Étape 15.2.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

6

$6$ .

\frac{23}{27 + 6 - 6}

$\frac{23}{27 + 6 - 6}$

Étape 15.2.5

Additionnez

27

$27$ et

6

$6$ .

\frac{23}{33 - 6}

$\frac{23}{33 - 6}$

Étape 15.2.6

Soustrayez

6

$6$ de

33

$33$ .

\frac{23}{27}

$\frac{23}{27}$

\frac{23}{27}

$\frac{23}{27}$

\frac{23}{27}

$\frac{23}{27}$

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