Calcul infinitésimal Exemples

lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 1.3

Comme l’exposant

x

$x$ approche de

\infty

$\infty$ , la quantité

e^{x}

$e^{x}$ approche de

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 2

$n = 2$ .

lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est

a^{x} \ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ où

a

$a$ =

e

$e$ .

lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

Étape 4

Placez le terme

2

$2$ hors de la limite car il est constant par rapport à

x

$x$ .

2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 5.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 5.1.3

Comme l’exposant

x

$x$ approche de

\infty

$\infty$ , la quantité

e^{x}

$e^{x}$ approche de

\infty

$\infty$ .

2 \frac{\infty}{\infty}

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

2 \frac{\infty}{\infty}

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 5.2

Comme

\frac{\infty}{\infty}

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 5.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est

a^{x} \ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ où

a

$a$ =

e

$e$ .

2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction

\frac{1}{e^{x}}

$\frac{1}{e^{x}}$ approche de

0

$0$ .

2 \cdot 0

$2 \cdot 0$

Étape 7

Multipliez

2

$2$ par

0

$0$ .

0

$0$

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