Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x^{4} - 5 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

Étape 1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{4} - 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{4} + 14$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

Étape 3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

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Étape 3.6.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{4}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14]}$

Étape 3.6.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}$

Étape 3.7

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + 0}$

Étape 3.8

Additionnez $28 x^{3}$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{28}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{x^{3}}$

Étape 5

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 6.1.1.2

Divisez $24$ par $1$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 10 x$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 6.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 6.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 6.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 6.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{1}$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6.5

Évaluez la limite de $24$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6.6

Placez le terme $10$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{1}$

Étape 8.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.2.1

Divisez $24 - 10 \cdot 0$ par $1$ .

$\frac{1}{28} (24 - 10 \cdot 0)$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$\frac{1}{28} (24 + 0)$

Étape 8.2.3

Additionnez $24$ et $0$ .

$\frac{1}{28} \cdot 24$

Étape 8.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$\frac{1}{4 (7)} \cdot 24$

Étape 8.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

Étape 8.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

Étape 8.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{7} \cdot 6$

Étape 8.2.5

Associez $\frac{1}{7}$ et $6$ .

$\frac{6}{7}$

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