Exemples

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - 6 b - 3 c \\ a - 2 b + c \\ a + 3 b + 5 c \end{array}]$

Étape 1

Le noyau d’une transformation est un vecteur qui rend cette transformation égale au vecteur nul (la préimage de la transformation).

$[\begin{array}{c} a - 6 b - 3 c \\ a - 2 b + c \\ a + 3 b + 5 c \end{array}] = 0$

Étape 2

Créez un système d’équations à partir de l’équation vectorielle.

$a - 6 b - 3 c = 0$

$a - 2 b + c = 0$

$a + 3 b + 5 c = 0$

Étape 3

Écrivez le système comme une matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 4.1.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 1 - 1 & - 2 + 6 & 1 + 3 & 0 - 0 \\ 1 & 3 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 4.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 4.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 4.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 1 - 1 & 3 + 6 & 5 + 3 & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{4}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{4}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{4}{4} & \frac{0}{4} \\ 0 & 9 & 8 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \end{array}]$

Étape 4.4

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 4.4.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - 9 \cdot 0 & 9 - 9 \cdot 1 & 8 - 9 \cdot 1 & 0 - 9 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.5

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $- 1$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

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Étape 4.5.1

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $- 1$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 0 \end{array}]$

Étape 4.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.6

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

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Étape 4.6.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.6.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.7

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + 3 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

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Étape 4.7.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + 3 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 6 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.8

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 4.8.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 5

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$a = 0$

$b = 0$

$c = 0$

Étape 6

Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 7

Écrivez comme un ensemble de solutions.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Étape 8

Le noyau de $S$ est le sous-espace ${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ .

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

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