Exemples

$f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$ comme une équation.

$y = - x^{2} - 5 x - 5$

Étape 2

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1

Complétez le carré pour $- x^{2} - 5 x - 5$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 5$

$c = - 5$

Étape 2.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$d = \frac{- 5}{- 2}$

Étape 2.1.3.2.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$d = \frac{5}{2}$

Étape 2.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$e = - 5 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = - 5 - \frac{25}{- 4}$

Étape 2.1.4.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - 5 - - \frac{25}{4}$

Étape 2.1.4.2.1.4

Multipliez $- - \frac{25}{4}$ .

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Étape 2.1.4.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - 5 + 1 (\frac{25}{4})$

Étape 2.1.4.2.1.4.2

Multipliez $\frac{25}{4}$ par $1$ .

$e = - 5 + \frac{25}{4}$

Étape 2.1.4.2.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$e = - 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Étape 2.1.4.2.3

Associez $- 5$ et $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Étape 2.1.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 5 \cdot 4 + 25}{4}$

Étape 2.1.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.4.2.5.1

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$e = \frac{- 20 + 25}{4}$

Étape 2.1.4.2.5.2

Additionnez $- 20$ et $25$ .

$e = \frac{5}{4}$

Étape 2.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Étape 2.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Étape 3

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 1$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{5}{4}$

Étape 4

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 5

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

Étape 6

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 6.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 6.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 6.3.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Étape 6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 7

Déterminez le foyer.

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Étape 7.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{5}{2}, 1)$

Étape 8

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 9

Déterminez la directrice.

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Étape 9.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{3}{2}$

Étape 10

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

Foyer : $(- \frac{5}{2}, 1)$

Axe de symétrie : $x = - \frac{5}{2}$

Directrice : $y = \frac{3}{2}$

Étape 11

Saisissez VOTRE problème