Exemples

Déterminer les vecteurs propres/l’espace propre
Étape 1
Déterminez les valeurs propres.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique .
Étape 1.2
La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille est la matrice carrée avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.
Étape 1.3
Remplacez les valeurs connues dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Remplacez par .
Étape 1.3.2
Remplacez par .
Étape 1.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 1.4.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.2.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.4.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.5
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.6
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.6.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.6.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.7
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.7.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.7.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.8
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.8.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.8.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.9
Multipliez par .
Étape 1.4.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 1.4.3
Simplifiez chaque élément.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.1
Additionnez et .
Étape 1.4.3.2
Additionnez et .
Étape 1.4.3.3
Additionnez et .
Étape 1.4.3.4
Additionnez et .
Étape 1.4.3.5
Additionnez et .
Étape 1.4.3.6
Additionnez et .
Étape 1.4.3.7
Soustrayez de .
Étape 1.5
Déterminez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1
Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments . S’il n’y a aucun élément , choisissez n’importe quelle ligne ou colonne. Multipliez chaque élément de la colonne par son cofacteur et additionnez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1.1
Utilisez le tableau de signes correspondant.
Étape 1.5.1.2
Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position sur le tableau de signes.
Étape 1.5.1.3
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 1.5.1.4
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 1.5.1.5
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 1.5.1.6
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 1.5.1.7
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 1.5.1.8
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 1.5.1.9
Additionnez les termes entre eux.
Étape 1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.3
Multipliez par .
Étape 1.5.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 1.5.4.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.2.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.2.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.4.2.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.4.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.4.2.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.2.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.5.4.2.1.2.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Déplacez .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.6
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.7
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.4.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.4.2.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.5.5
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.1
Associez les termes opposés dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.1.1
Additionnez et .
Étape 1.5.5.1.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.5.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.5.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.3.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.3.1.1
Déplacez .
Étape 1.5.5.3.1.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.3.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.5.5.3.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.5.5.3.1.3
Additionnez et .
Étape 1.5.5.3.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.5.5.3.3
Multipliez par .
Étape 1.5.5.4
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.4.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.4.1.1
Déplacez .
Étape 1.5.5.4.1.2
Multipliez par .
Étape 1.5.5.4.2
Multipliez par .
Étape 1.6
Définissez le polynôme caractéristique égal à pour déterminer les valeurs propres .
Étape 1.7
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.2
Factorisez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.2.1
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.2.1.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 1.7.1.2.1.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 1.7.1.2.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 1.7.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.7.3
Définissez égal à .
Étape 1.7.4
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.4.1
Définissez égal à .
Étape 1.7.4.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.7.5
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.5.1
Définissez égal à .
Étape 1.7.5.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.7.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 2
Le vecteur propre est égal à l’espace nul de la matrice moins la valeur propre fois la matrice d’identité où est l’espace nul et est la matrice d’identité.
Étape 3
Déterminez le vecteur propre à l’aide de la valeur propre .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 3.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 3.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.6
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.7
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.8
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.9
Multipliez par .
Étape 3.2.2
L’ajout de toute matrice à la matrice nulle est une matrice en lui-même.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.1
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 3.2.2.2
Simplifiez chaque élément.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.2.1
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.2
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.3
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.4
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.5
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.6
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.7
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.8
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.9
Additionnez et .
Étape 3.3
Déterminez l’espace nul quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.1
Écrivez comme une matrice augmentée pour .
Étape 3.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.1.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.2
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.2.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.3
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.3.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.3.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.4
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.4.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.4.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.5
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.5.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.5.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.6
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.6.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.6.2
Simplifiez .
Étape 3.3.3
Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.
Étape 3.3.4
Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.
Étape 3.3.5
Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.
Étape 3.3.6
Écrivez comme un ensemble de solutions.
Étape 3.3.7
La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.
Étape 4
Déterminez le vecteur propre à l’aide de la valeur propre .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 4.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 4.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.6
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.7
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.8
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.9
Multipliez par .
Étape 4.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 4.2.3
Simplifiez chaque élément.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.3.1
Soustrayez de .
Étape 4.2.3.2
Additionnez et .
Étape 4.2.3.3
Additionnez et .
Étape 4.2.3.4
Additionnez et .
Étape 4.2.3.5
Soustrayez de .
Étape 4.2.3.6
Additionnez et .
Étape 4.2.3.7
Additionnez et .
Étape 4.2.3.8
Additionnez et .
Étape 4.2.3.9
Soustrayez de .
Étape 4.3
Déterminez l’espace nul quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1
Écrivez comme une matrice augmentée pour .
Étape 4.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.1.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.2
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.2.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.3
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.3.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.3.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.4
Inversez avec pour placer une entrée non nulle sur .
Étape 4.3.2.5
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.5.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.5.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.6
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.6.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.6.2
Simplifiez .
Étape 4.3.3
Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.
Étape 4.3.4
Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.
Étape 4.3.5
Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.
Étape 4.3.6
Écrivez comme un ensemble de solutions.
Étape 4.3.7
La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.
Étape 5
Déterminez le vecteur propre à l’aide de la valeur propre .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 5.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 5.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.6
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.7
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.8
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.9
Multipliez par .
Étape 5.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 5.2.3
Simplifiez chaque élément.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.3.1
Additionnez et .
Étape 5.2.3.2
Additionnez et .
Étape 5.2.3.3
Additionnez et .
Étape 5.2.3.4
Additionnez et .
Étape 5.2.3.5
Additionnez et .
Étape 5.2.3.6
Additionnez et .
Étape 5.2.3.7
Additionnez et .
Étape 5.2.3.8
Additionnez et .
Étape 5.2.3.9
Additionnez et .
Étape 5.3
Déterminez l’espace nul quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Écrivez comme une matrice augmentée pour .
Étape 5.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.1.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 5.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 5.3.2.2
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.2.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 5.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 5.3.2.3
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.3.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 5.3.2.3.2
Simplifiez .
Étape 5.3.2.4
Inversez avec pour placer une entrée non nulle sur .
Étape 5.3.2.5
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.5.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 5.3.2.5.2
Simplifiez .
Étape 5.3.3
Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.
Étape 5.3.4
Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.
Étape 5.3.5
Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.
Étape 5.3.6
Écrivez comme un ensemble de solutions.
Étape 5.3.7
La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.
Étape 6
L’espace propre de est la liste de l’espace de vecteur de chaque valeur propre.
Saisissez VOTRE problème
Mathway nécessite Javascript et un navigateur récent.