Algèbre Exemples

\frac{i + 1}{5 i - 1}

$\frac{i + 1}{5 i - 1}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de

\frac{i + 1}{- 1 + 5 i}

$\frac{i + 1}{- 1 + 5 i}$ par le conjugué de

- 1 + 5 i

$- 1 + 5 i$ pour rendre le dénominateur réel.

\frac{i + 1}{- 1 + 5 i} \cdot \frac{- 1 - 5 i}{- 1 - 5 i}

$\frac{i + 1}{- 1 + 5 i} \cdot \frac{- 1 - 5 i}{- 1 - 5 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

\frac{(i + 1) (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{(i + 1) (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez

(i + 1) (- 1 - 5 i)

$(i + 1) (- 1 - 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{i (- 1 - 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{i (- 1 - 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Déplacez

- 1

$- 1$ à gauche de

i

$i$ .

\frac{- 1 \cdot i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- 1 \cdot i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Réécrivez

- 1 i

$- 1 i$ comme

- i

$- i$ .

\frac{- i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez

i (- 5 i)

$i (- 5 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{- i - 5 (i^{1} i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i - 5 (i^{1} i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{- i - 5 (i^{1} i^{1}) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i - 5 (i^{1} i^{1}) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{- i - 5 i^{1 + 1} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i - 5 i^{1 + 1} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.3.4

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\frac{- i - 5 i^{2} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i - 5 i^{2} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

\frac{- i - 5 i^{2} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i - 5 i^{2} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

\frac{- i - 5 \cdot - 1 + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i - 5 \cdot - 1 + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez

- 5

$- 5$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{- i + 5 + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i + 5 + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

\frac{- i + 5 - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i + 5 - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.7

Multipliez

- 5 i

$- 5 i$ par

1

$1$ .

\frac{- i + 5 - 1 - 5 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i + 5 - 1 - 5 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

\frac{- i + 5 - 1 - 5 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i + 5 - 1 - 5 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez

5 i

$5 i$ de

- i

$- i$ .

\frac{5 - 1 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{5 - 1 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez

1

$1$ de

5

$5$ .

\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez

(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)

$(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{4 - 6 i}{- 1 (- 1 - 5 i) + 5 i (- 1 - 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{- 1 (- 1 - 5 i) + 5 i (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i (- 1 - 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{4 - 6 i}{1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez

- 5

$- 5$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

5

$5$ .

\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i + 5 i (- 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i + 5 i (- 5 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez

- 5

$- 5$ par

5

$5$ .

\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i i}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 (i^{1} i)}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 (i^{1} i^{1})}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i^{1 + 1}}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i^{2}}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez

5 i

$5 i$ de

5 i

$5 i$ .

\frac{4 - 6 i}{1 + 0 - 25 i^{2}}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 0 - 25 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez

1

$1$ et

0

$0$ .

\frac{4 - 6 i}{1 - 25 i^{2}}

$\frac{4 - 6 i}{1 - 25 i^{2}}$

\frac{4 - 6 i}{1 - 25 i^{2}}

$\frac{4 - 6 i}{1 - 25 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

\frac{4 - 6 i}{1 - 25 \cdot - 1}

$\frac{4 - 6 i}{1 - 25 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez

- 25

$- 25$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{4 - 6 i}{1 + 25}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 25}$

\frac{4 - 6 i}{1 + 25}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 25}$

Étape 2.3.4

Additionnez

1

$1$ et

25

$25$ .

\frac{4 - 6 i}{26}

$\frac{4 - 6 i}{26}$

\frac{4 - 6 i}{26}

$\frac{4 - 6 i}{26}$

\frac{4 - 6 i}{26}

$\frac{4 - 6 i}{26}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à

4 - 6 i

$4 - 6 i$ et

26

$26$ .

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Étape 3.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

4

$4$ .

\frac{2 (2) - 6 i}{26}

$\frac{2 (2) - 6 i}{26}$

Étape 3.2

Factorisez

2

$2$ à partir de

- 6 i

$- 6 i$ .

\frac{2 (2) + 2 (- 3 i)}{26}

$\frac{2 (2) + 2 (- 3 i)}{26}$

Étape 3.3

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 (2) + 2 (- 3 i)

$2 (2) + 2 (- 3 i)$ .

\frac{2 (2 - 3 i)}{26}

$\frac{2 (2 - 3 i)}{26}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

26

$26$ .

\frac{2 (2 - 3 i)}{2 \cdot 13}

$\frac{2 (2 - 3 i)}{2 \cdot 13}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 - 3 i)}{2 \cdot 13}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - 3 i}{13}$

Étape 4

Divisez la fraction

$\frac{2 - 3 i}{13}$ en deux fractions.

$\frac{2}{13} + \frac{- 3 i}{13}$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{13} - \frac{3 i}{13}$

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