Algèbre Exemples

$y = 2 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 1

Insérez $0$ pour $y$ .

$0 = 2 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 2

Simplifiez l’équation dans une forme appropriée pour compléter le carré.

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Étape 2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = 2 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 2.2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Étape 2.3

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 12 x = - 9$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} - 12 x = - 9$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} - 12 x = - 9$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2} = \frac{- 9}{2}$

Étape 3.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2 (1)} = \frac{- 9}{2}$

Étape 3.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2 \cdot 1} = \frac{- 9}{2}$

Étape 3.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{- 6 x}{1} = \frac{- 9}{2}$

Étape 3.2.1.2.2.4

Divisez $- 6 x$ par $1$ .

$x^{2} - 6 x = \frac{- 9}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - 6 x = - \frac{9}{2}$

Étape 4

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 5

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$x^{2} - 6 x + {(- 3)}^{2} = - \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Simplifiez $- \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + 9$

Étape 6.2.1.2

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + 9 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.2.1.3

Associez $9$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{- 9 + 9 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.5.1

Multipliez $9$ par $2$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{- 9 + 18}{2}$

Étape 6.2.1.5.2

Additionnez $- 9$ et $18$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{9}{2}$

Étape 7

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(x - 3)}^{2}$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{9}{2}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 8.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x - 3 = \pm \sqrt{\frac{9}{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{9}{2}}$ .

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Étape 8.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{9}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 3 = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x - 3 = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x - 3 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

Étape 8.2.3

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 3 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.4.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.2.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 8.2.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 8.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 8.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 8.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 8.2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x - 3 = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

Étape 8.3.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x - 3 = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.3.4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

Étape 8.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3, - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3, - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

Forme décimale :

$x = 5.12132034 \dots, 0.87867965 \dots$

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