Algèbre Exemples

[\begin{matrix} 2 & 3 4 & 7 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 11 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez

[\begin{matrix} 2 & 3 4 & 7 \end{matrix}] [\begin{matrix} x y \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est

2 \times 2

$2 \times 2$ et la deuxième matrice est

2 \times 1

$2 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

[\begin{matrix} 2 x + 3 y 4 x + 7 y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 11 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 x + 3 y \\ 4 x + 7 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 2 x + 3 y 4 x + 7 y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 11 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 x + 3 y \\ 4 x + 7 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 2

Écrivez comme un système linéaire d’équations.

2 x + 3 y = 1

$2 x + 3 y = 1$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Résolvez

x

$x$ dans

2 x + 3 y = 1

$2 x + 3 y = 1$ .

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Étape 3.1.1

Soustrayez

3 y

$3 y$ des deux côtés de l’équation.

2 x = 1 - 3 y

$2 x = 1 - 3 y$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

Étape 3.1.2

Divisez chaque terme dans

2 x = 1 - 3 y

$2 x = 1 - 3 y$ par

2

$2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.2.1

Divisez chaque terme dans

2 x = 1 - 3 y

$2 x = 1 - 3 y$ par

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

Étape 3.1.2.2.1.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de

$x$ par

$\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de

$x$ dans

$4 x + 7 y = 1$ par

$\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez

$4 (\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}) + 7 y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (\frac{1}{2}) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 3.2.2.1.1.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$4$ .

$2 (2) (\frac{1}{2}) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 3.2.2.1.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{3 y}{2}$ dans le numérateur.

$2 + 4 (\frac{- 3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.1.3.2

Factorisez

$2$ à partir de

$4$ .

$2 + 2 (2) (\frac{- 3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 + 2 \cdot (2 (\frac{- 3 y}{2})) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$2 + 2 (- 3 y) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + 2 (- 3 y) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.1.4

Multipliez

$- 3$ par

$2$ .

$2 - 6 y + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 - 6 y + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Additionnez

$- 6 y$ et

$7 y$ .

$2 + y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas

$y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez

$2$ des deux côtés de l’équation.

$y = 1 - 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.3.2

Soustrayez

$2$ de

$1$ .

$y = - 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = - 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de

$y$ par

$- 1$ dans chaque équation.

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Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de

$y$ dans

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$ par

$- 1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 (- 1)}{2}$

$y = - 1$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} - \frac{3 (- 1)}{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{1 - 3 \cdot - 1}{2}$

$y = - 1$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Multipliez

$- 3$ par

$- 1$ .

$x = \frac{1 + 3}{2}$

$y = - 1$

Étape 3.4.2.1.2.2

Additionnez

$1$ et

$3$ .

$x = \frac{4}{2}$

$y = - 1$

Étape 3.4.2.1.2.3

Divisez

$4$ par

$2$ .

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

Étape 3.5

Indiquez toutes les solutions.

$x = 2, y = - 1$

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