Algèbre Exemples

[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Étape 1

Écrivez la matrice sous forme de produit d’une matrice triangulaire inférieure et d’une matrice triangulaire supérieure.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Étape 2

Multipliez

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est

2 \times 2

$2 \times 2$ et la deuxième matrice est

2 \times 2

$2 \times 2$ .

Étape 2.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

[\begin{array}{c} 1 u_{11} + 0 \cdot 0 & 1 u_{12} + 0 u_{22} \\ l_{21} u_{11} + 1 \cdot 0 & l_{21} u_{12} + 1 u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 u_{11} + 0 \cdot 0 & 1 u_{12} + 0 u_{22} \\ l_{21} u_{11} + 1 \cdot 0 & l_{21} u_{12} + 1 u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Étape 2.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

[\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

[\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Étape 3

Résolvez.

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Étape 3.1

Écrivez comme un système linéaire d’équations.

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

l_{21} u_{11} = 2

$l_{21} u_{11} = 2$

l_{21} u_{12} + u_{22} = 3

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Étape 3.2

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de

u_{11}

$u_{11}$ par

1

$1$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1.1

Remplacez toutes les occurrences de

u_{11}

$u_{11}$ dans

l_{21} u_{11} = 2

$l_{21} u_{11} = 2$ par

1

$1$ .

l_{21} \cdot 1 = 2

$l_{21} \cdot 1 = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

l_{21} u_{12} + u_{22} = 3

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez

l_{21}

$l_{21}$ par

1

$1$ .

l_{21} = 2

$l_{21} = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

l_{21} u_{12} + u_{22} = 3

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

l_{21} = 2

$l_{21} = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

l_{21} u_{12} + u_{22} = 3

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

l_{21} = 2

$l_{21} = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

l_{21} u_{12} + u_{22} = 3

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Étape 3.2.2

Remplacez toutes les occurrences de

l_{21}

$l_{21}$ par

2

$2$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.2.1

Remplacez toutes les occurrences de

l_{21}

$l_{21}$ dans

l_{21} u_{12} + u_{22} = 3

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$ par

2

$2$ .

2 \cdot u_{12} + u_{22} = 3

$2 \cdot u_{12} + u_{22} = 3$

l_{21} = 2

$l_{21} = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Multipliez

2

$2$ par

u_{12}

$u_{12}$ .

2 u_{12} + u_{22} = 3

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

l_{21} = 2

$l_{21} = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

2 u_{12} + u_{22} = 3

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

l_{21} = 2

$l_{21} = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

2 u_{12} + u_{22} = 3

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

l_{21} = 2

$l_{21} = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de

u_{12}

$u_{12}$ par

- 1

$- 1$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.3.1

Remplacez toutes les occurrences de

u_{12}

$u_{12}$ dans

2 u_{12} + u_{22} = 3

$2 u_{12} + u_{22} = 3$ par

- 1

$- 1$ .

2 (- 1) + u_{22} = 3

$2 (- 1) + u_{22} = 3$

l_{21} = 2

$l_{21} = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.2.1

Multipliez

2

$2$ par

- 1

$- 1$ .

- 2 + u_{22} = 3

$- 2 + u_{22} = 3$

l_{21} = 2

$l_{21} = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

- 2 + u_{22} = 3

$- 2 + u_{22} = 3$

l_{21} = 2

$l_{21} = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

- 2 + u_{22} = 3

$- 2 + u_{22} = 3$

l_{21} = 2

$l_{21} = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

Étape 3.2.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas

u_{22}

$u_{22}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.4.1

Ajoutez

2

$2$ aux deux côtés de l’équation.

u_{22} = 3 + 2

$u_{22} = 3 + 2$

l_{21} = 2

$l_{21} = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

Étape 3.2.4.2

Additionnez

3

$3$ et

2

$2$ .

u_{22} = 5

$u_{22} = 5$

l_{21} = 2

$l_{21} = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

u_{22} = 5

$u_{22} = 5$

l_{21} = 2

$l_{21} = 2$

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = - 1

$u_{12} = - 1$

Étape 3.2.5

Résolvez le système d’équations.

u_{22} = 5 l_{21} = 2 u_{11} = 1 u_{12} = - 1

$u_{22} = 5 l_{21} = 2 u_{11} = 1 u_{12} = - 1$

Étape 3.2.6

Indiquez toutes les solutions.

u_{22} = 5, l_{21} = 2, u_{11} = 1, u_{12} = - 1

$u_{22} = 5, l_{21} = 2, u_{11} = 1, u_{12} = - 1$

u_{22} = 5, l_{21} = 2, u_{11} = 1, u_{12} = - 1

$u_{22} = 5, l_{21} = 2, u_{11} = 1, u_{12} = - 1$

u_{22} = 5, l_{21} = 2, u_{11} = 1, u_{12} = - 1

$u_{22} = 5, l_{21} = 2, u_{11} = 1, u_{12} = - 1$

Étape 4

Remplacez dans les valeurs trouvées.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 5 \end{array}]$

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