Algèbre Exemples

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a + 3 b - 6 c 2 a + b + c a + 5 b + c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a + 3 b - 6 c \\ 2 a + b + c \\ a + 5 b + c \end{array}]$

Étape 1

La transformation définit un mappage de

R^{3}

$ℝ^{3}$ à

R^{3}

$ℝ^{3}$ . Pour prouver que la transformation est linéaire, elle doit conserver la multiplication scalaire, l’addition et le vecteur zéro.

S :

R^{3} \to R^{3}

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Étape 2

Commencez par prouver que la transformée préserve cette propriété.

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Étape 3

Définissez deux matrices pour tester si la propriété d’addition est préservée pour

S

$S$ .

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} x_{2} x_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} y_{1} y_{2} y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Étape 4

Ajoutez les deux matrices.

S ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + y_{1} x_{2} + y_{2} x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Étape 5

Appliquez la transformation au vecteur.

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3}) 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3}) \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 6.1

Réorganisez

x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3})

$x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3})$ .

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Étape 6.2

Réorganisez

2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}

$2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}$ .

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Étape 6.3

Réorganisez

x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}

$x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]$

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

Étape 7

Séparez le résultat en deux matrices en regroupant les variables.

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Étape 8

La propriété d’addition de la transformée est vraie.

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Étape 9

Pour qu’une transformée soit linéaire, elle doit maintenir la multiplication scalaire.

S (p x) = T ⎛ ⎜ ⎝ p ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Étape 10

Factorisez le

$p$ à partir de chaque élément.

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Étape 10.1

Multipliez

$p$ par chaque élément dans la matrice.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Étape 10.2

Appliquez la transformation au vecteur.

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) + 3 (p b) - 6 (p c) \\ 2 (p a + p b + p c) \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Étape 10.3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 10.3.1

Réorganisez

$(p a) + 3 (p b) - 6 (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 (p a + p b + p c) \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Étape 10.3.2

Réorganisez

$2 (p a + p b + p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Étape 10.3.3

Réorganisez

$(p a) + 5 (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Étape 10.4

Factorisez chaque élément de la matrice.

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Étape 10.4.1

Factorisez l’élément

$0, 0$ en multipliant

$a p + 3 b p - 6 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Étape 10.4.2

Factorisez l’élément

$1, 0$ en multipliant

$2 a p + 2 b p + 2 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Étape 10.4.3

Factorisez l’élément

$2, 0$ en multipliant

$a p + 5 b p + c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p (a + 5 b + c) \end{array}]$

Étape 11

La deuxième propriété d’une transformation linéaire est conservée dans cette transformation.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Étape 12

Pour que la transformée soit linéaire, le vecteur nul doit être préservé.

$S (0) = 0$

Étape 13

Appliquez la transformation au vecteur.

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) + 3 (0) - 6 \cdot 0 \\ 2 (0) + 0 + 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Étape 14

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 14.1

Réorganisez

$(0) + 3 (0) - 6 \cdot 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 (0) + 0 + 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Étape 14.2

Réorganisez

$2 (0) + 0 + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Étape 14.3

Réorganisez

$(0) + 5 (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 15

Le vecteur nul est conservé par la transformation.

$S (0) = 0$

Étape 16

Comme les trois propriétés des transformations linéaires ne sont pas respectées, il ne s’agit pas d’une transformation linéaire.

Transformation linéaire

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