Algèbre Exemples

$A = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ , $x = [\begin{array}{c} 3 x + 3 y \\ 4 x - y \end{array}]$

Étape 1

Écrivez comme une matrice augmentée pour $x \cdot x = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 3 x + 3 y & 8 \\ 4 x - y & 1 \end{array}]$

Étape 2

Écrivez comme un système linéaire d’équations.

$8 = 3 x + 3 y$

$1 = 4 x - y$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Déplacez les variables du côté gauche et les termes constants du côté droit.

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Étape 3.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1.1

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$8 - 3 x = 3 y$

$1 = 4 x - y$

Étape 3.1.1.2

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$8 - 3 x - 3 y = 0$

$1 = 4 x - y$

$8 - 3 x - 3 y = 0$

$1 = 4 x - y$

Étape 3.1.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 = 4 x - y$

Étape 3.1.3

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.3.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 - 4 x = - y$

Étape 3.1.3.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 - 4 x + y = 0$

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 - 4 x + y = 0$

Étape 3.1.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x - 3 y = - 8$

$- 4 x + y = - 1$

$- 3 x - 3 y = - 8$

$- 4 x + y = - 1$

Étape 3.2

Écrivez le système comme une matrice.

$[\begin{array}{c} - 3 & - 3 & - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $- \frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $- \frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 3.3.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 (\frac{8}{3}) \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]$

Étape 3.3.3

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{5}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 3.3.3.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{5}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{\frac{29}{3}}{5} \end{array}]$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Étape 3.3.4

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 3.3.4.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{8}{3} - \frac{29}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Étape 3.4

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$x = \frac{11}{15}$

$y = \frac{29}{15}$

Étape 3.5

Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]$

Étape 3.6

Écrivez comme un ensemble de solutions.

${[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}$

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