Algèbre Exemples

f (x) = 5 x^{2} - 5 x + 1

$f (x) = 5 x^{2} - 5 x + 1$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ . Si

a

$a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est

f (- \frac{b}{2 a})

$f (- \frac{b}{2 a})$ .

f_{min}

$f_{min}$

x = a x^{2} + b x + c

$x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ .

x = - \frac{- 5}{2 (5)}

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

x = - \frac{- 5}{2 (5)}

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

Étape 2.3

Simplifiez

- \frac{- 5}{2 (5)}

$- \frac{- 5}{2 (5)}$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à

- 5

$- 5$ et

5

$5$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez

5

$5$ à partir de

- 5

$- 5$ .

x = - \frac{5 \cdot - 1}{2 \cdot 5}

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez

5

$5$ à partir de

2 \cdot 5

$2 \cdot 5$ .

x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

x = - \frac{- 1}{2}

$x = - \frac{- 1}{2}$

x = - \frac{- 1}{2}

$x = - \frac{- 1}{2}$

x = - \frac{- 1}{2}

$x = - \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

x = - - \frac{1}{2}

$x = - - \frac{1}{2}$

Étape 2.3.3

Multipliez

- - \frac{1}{2}

$- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

x = 1 (\frac{1}{2})

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Étape 2.3.3.2

Multipliez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ par

1

$1$ .

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3

Évaluez

f (\frac{1}{2})

$f (\frac{1}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dans l’expression.

f (\frac{1}{2}) = 5 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1

$f (\frac{1}{2}) = 5 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 3.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 3.2.1.3

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 3.2.1.4

Associez

5

$5$ et

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 3.2.1.5

Associez

- 5

$- 5$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} + \frac{- 5}{2} + 1

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} + \frac{- 5}{2} + 1$

Étape 3.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 1

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 1$

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 1

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 1$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez

\frac{5}{2}

$\frac{5}{2}$ par

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - (\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 1

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - (\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Étape 3.2.2.2

Multipliez

\frac{5}{2}

$\frac{5}{2}$ par

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1$

Étape 3.2.2.3

Écrivez

1

$1$ comme une fraction avec le dénominateur

1

$1$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Étape 3.2.2.4

Multipliez

\frac{1}{1}

$\frac{1}{1}$ par

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez

\frac{1}{1}

$\frac{1}{1}$ par

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{4}$

Étape 3.2.2.6

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{4}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{4}{4}$

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{4}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 5 \cdot 2 + 4}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 5 \cdot 2 + 4}{4}$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez

- 5

$- 5$ par

2

$2$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 10 + 4}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 10 + 4}{4}$

Étape 3.2.4.2

Soustrayez

10

$10$ de

5

$5$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{- 5 + 4}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 5 + 4}{4}$

Étape 3.2.4.3

Additionnez

- 5

$- 5$ et

4

$4$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Étape 3.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Étape 3.2.5

La réponse finale est

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ .

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

Étape 4

Utilisez les valeurs

x

$x$ et

y

$y$ pour déterminer où se produit le minimum.

(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Étape 5

Saisissez VOTRE problème