Algèbre Exemples

f (x) = \sqrt{x}

$f (x) = \sqrt{x}$

Étape 1

Écrivez

f (x) = \sqrt{x}

$f (x) = \sqrt{x}$ comme une équation.

y = \sqrt{x}

$y = \sqrt{x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

x = \sqrt{y}

$x = \sqrt{y}$

Étape 3

Résolvez

y

$y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme

\sqrt{y} = x

$\sqrt{y} = x$ .

\sqrt{y} = x

$\sqrt{y} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

{\sqrt{y}}^{2} = x^{2}

${\sqrt{y}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ comme

y^{\frac{1}{2}}

$y^{\frac{1}{2}}$ .

{(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez

{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans

{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$y = x^{2}$

Étape 4

Remplacez

$y$ par

$f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

Étape 5

Vérifiez si

$f^{- 1} (x) = x^{2}$ est l’inverse de

$f (x) = \sqrt{x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si

$f^{- 1} (f (x)) = x$ et

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez

$f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez

$f^{- 1} (\sqrt{x})$ en remplaçant la valeur de

$f$ par

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = {(\sqrt{x})}^{2}$

Étape 5.2.3

Réécrivez

${\sqrt{x}}^{2}$ comme

$x$ .

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Étape 5.2.3.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{x}$ comme

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 5.2.3.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x^{\frac{2}{2}}$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x^{\frac{2}{2}}$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez

$f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez

$f (x^{2})$ en remplaçant la valeur de

$f^{- 1}$ par

$f$ .

$f (x^{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x^{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (x^{2}) = x$

Étape 5.4

Comme

$f^{- 1} (f (x)) = x$ et

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ,

$f^{- 1} (x) = x^{2}$ est l’inverse de

$f (x) = \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

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