Algèbre Exemples

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ , $x - 1$

Étape 1

Divisez $\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ en utilisant la division synthétique et vérifiez si le reste est égal à $0$ . Si le reste est égal à $0$ , cela signifie que $x - 1$ est un facteur pour $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ . Si le reste n’est pas égal à $0$ , cela signifie que $x - 1$ n’est pas un facteur pour $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

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Étape 1.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$

Étape 1.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$

	$1$

Étape 1.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 2)$ .

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$
	$1$

Étape 1.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$
	$1$	$- 1$

Étape 1.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 10)$ .

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$
	$1$	$- 1$

Étape 1.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$
	$1$	$- 1$	$- 11$

Étape 1.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 11)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 11)$ sous le terme suivant dans le dividende $(7)$ .

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$
	$1$	$- 1$	$- 11$

Étape 1.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$
	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

Étape 1.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(4)$ .

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

Étape 1.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$	$0$

Étape 1.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4$

Étape 1.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

Étape 2

Le reste de la division $\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ est $0$ , ce qui signifie que $x - 1$ est un facteur pour $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

$x - 1$ est un facteur pour $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$

Étape 3

Déterminez toutes les racines possibles pour $x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ .

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Étape 3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 4

Définissez la division suivante pour déterminer si $x - 4$ est un facteur du polynôme $x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

Étape 5

Divisez l’expression en utilisant la division synthétique afin de déterminer si c’est un facteur du polynôme. Comme $x - 4$ se divise parfaitement en $x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ , $x - 4$ est un facteur du polynôme et il reste un polynôme de $x^{2} + 3 x + 1$ .

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Étape 5.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

Étape 5.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

	$1$

Étape 5.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$
	$1$

Étape 5.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$
	$1$	$3$

Étape 5.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(12)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 11)$ .

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$
	$1$	$3$

Étape 5.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$
	$1$	$3$	$1$

Étape 5.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$	$4$
	$1$	$3$	$1$

Étape 5.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$	$4$
	$1$	$3$	$1$	$0$

Étape 5.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + 3 x + 1$

Étape 5.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} + 3 x + 1$

Étape 6

Déterminez toutes les racines possibles pour $x^{2} + 3 x + 1$ .

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Étape 6.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Étape 6.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1$

Étape 7

Le facteur final est le seul facteur sorti de la division synthétique.

$x^{2} + 3 x + 1$

Étape 8

Le polynôme factorisé est $(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$ .

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$

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