Algèbre Exemples

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ ,

x - 1

$x - 1$

Étape 1

Divisez

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ en utilisant la division synthétique et vérifiez si le reste est égal à

0

$0$ . Si le reste est égal à

0

$0$ , cela signifie que

x - 1

$x - 1$ est un facteur pour

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ . Si le reste n’est pas égal à

0

$0$ , cela signifie que

x - 1

$x - 1$ n’est pas un facteur pour

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

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Étape 1.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

Étape 1.2

Le premier nombre dans le dividende

(1)

$(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

	$1$ $1$

Étape 1.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat

(1)

$(1)$ par le diviseur

(1)

$(1)$ et placez le résultat de

(1)

$(1)$ sous le terme suivant dans le dividende

(- 2)

$(- 2)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$
	$1$ $1$

Étape 1.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

Étape 1.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat

(- 1)

$(- 1)$ par le diviseur

(1)

$(1)$ et placez le résultat de

(- 1)

$(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende

(- 10)

$(- 10)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

Étape 1.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$

Étape 1.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat

(- 11)

$(- 11)$ par le diviseur

(1)

$(1)$ et placez le résultat de

(- 11)

$(- 11)$ sous le terme suivant dans le dividende

(7)

$(7)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$

Étape 1.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

Étape 1.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat

(- 4)

$(- 4)$ par le diviseur

(1)

$(1)$ et placez le résultat de

(- 4)

$(- 4)$ sous le terme suivant dans le dividende

(4)

$(4)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

Étape 1.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$	$0$ $0$

Étape 1.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4$

Étape 1.12

Simplifiez le polynôme quotient.

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

Étape 2

Le reste de la division

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ est

0

$0$ , ce qui signifie que

x - 1

$x - 1$ est un facteur pour

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

x - 1

$x - 1$ est un facteur pour

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$

Étape 3

Déterminez toutes les racines possibles pour

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ .

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Étape 3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ où

p

$p$ est un facteur de la constante et

q

$q$ est un facteur du coefficient directeur.

p = \pm 1, \pm 2, \pm 4

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Étape 3.2

Déterminez chaque combinaison de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

\pm 1, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

\pm 1, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 4

Définissez la division suivante pour déterminer si

x - 4

$x - 4$ est un facteur du polynôme

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ .

\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}

$\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

Étape 5

Divisez l’expression en utilisant la division synthétique afin de déterminer si c’est un facteur du polynôme. Comme

x - 4

$x - 4$ se divise parfaitement en

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ ,

x - 4

$x - 4$ est un facteur du polynôme et il reste un polynôme de

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$ .

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Étape 5.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

Étape 5.2

Le premier nombre dans le dividende

(1)

$(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

	$1$ $1$

Étape 5.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat

(1)

$(1)$ par le diviseur

(4)

$(4)$ et placez le résultat de

(4)

$(4)$ sous le terme suivant dans le dividende

(- 1)

$(- 1)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$
	$1$ $1$

Étape 5.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$

Étape 5.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat

(3)

$(3)$ par le diviseur

(4)

$(4)$ et placez le résultat de

(12)

$(12)$ sous le terme suivant dans le dividende

(- 11)

$(- 11)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$
	$1$ $1$	$3$ $3$

Étape 5.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$

Étape 5.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat

(1)

$(1)$ par le diviseur

(4)

$(4)$ et placez le résultat de

(4)

$(4)$ sous le terme suivant dans le dividende

(- 4)

$(- 4)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$	$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$

Étape 5.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$	$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$	$0$ $0$

Étape 5.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

1 x^{2} + 3 x + 1

$1 x^{2} + 3 x + 1$

Étape 5.10

Simplifiez le polynôme quotient.

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

Étape 6

Déterminez toutes les racines possibles pour

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$ .

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Étape 6.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ où

p

$p$ est un facteur de la constante et

q

$q$ est un facteur du coefficient directeur.

p = \pm 1

$p = \pm 1$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Étape 6.2

Déterminez chaque combinaison de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

\pm 1

$\pm 1$

\pm 1

$\pm 1$

Étape 7

Le facteur final est le seul facteur sorti de la division synthétique.

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

Étape 8

Le polynôme factorisé est

(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$ .

(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$

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