Algèbre Exemples

$B = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$2$ est la matrice carrée

$2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 1.3.2

Remplacez

$I_{2}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplifiez chaque élément.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Déterminez le déterminant.

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Étape 1.5.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.1

Développez

$(1 - λ) (4 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 1 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.5.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.2.1.1

Multipliez

$4$ par

$1$ .

$p (λ) = 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.5.2.1.2.1.2

Multipliez

$- λ$ par

$1$ .

$p (λ) = 4 - λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.5.2.1.2.1.3

Multipliez

$4$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.5.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Étape 1.5.2.1.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.1.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.5.2.1.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Étape 1.5.2.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Étape 1.5.2.1.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Étape 1.5.2.1.2.2

Soustrayez

$4 λ$ de

$- λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Étape 1.5.2.1.3

Multipliez

$- 3$ par

$2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Étape 1.5.2.2

Soustrayez

$6$ de

$4$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Étape 1.5.2.3

Remettez dans l’ordre

$- 5 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Étape 1.7

Résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.7.2

Remplacez les valeurs

$a = 1$ ,

$b = - 5$ et

$c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour

$λ$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3

Simplifiez

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Étape 1.7.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1.1

Élevez

$- 5$ à la puissance

$2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.1.2

Multipliez

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Étape 1.7.3.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.1.2.2

Multipliez

$- 4$ par

$- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.1.3

Additionnez

$25$ et

$8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.2

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.7.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 2

Le vecteur propre est égal à l’espace nul de la matrice moins la valeur propre fois la matrice d’identité où

$N$ est l’espace nul et

$I$ est la matrice d’identité.

$ε_{B} = N (B - λ I_{2})$

Étape 3

Déterminez le vecteur propre à l’aide de la valeur propre

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3

Simplifiez chaque élément.

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Étape 3.2.3.1

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.3.2

Multipliez

$- 1$ par

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.3.3

Soustrayez

$5$ de

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.4

Réécrivez

$- 3$ comme

$- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.5

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.6

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- 1 (3) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.8

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.9

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.10

Pour écrire

$4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.11

Associez

$4$ et

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.3.13.1

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.13.3

Multipliez

$- 1$ par

$5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.13.4

Soustrayez

$5$ de

$8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 3.3

Déterminez l’espace nul quand

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

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Étape 3.3.1

Écrivez comme une matrice augmentée pour

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez chaque élément de

$R_{1}$ par

$- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 1$ un

$1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez chaque élément de

$R_{1}$ par

$- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 1$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Réalisez l’opération de ligne

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 1$ un

$0$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$x + \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

Étape 3.3.5

Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Écrivez comme un ensemble de solutions.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 3.3.7

La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Déterminez le vecteur propre à l’aide de la valeur propre

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque élément.

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Étape 4.2.3.1

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.3.2

Multipliez

$- 1$ par

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.3.3

Multipliez

$- - \sqrt{33}$ .

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Étape 4.2.3.3.3.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.3.3.2

Multipliez

$\sqrt{33}$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.3.4

Soustrayez

$5$ de

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Réécrivez

$- 3$ comme

$- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Factorisez

$- 1$ à partir de

$\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.8

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.9

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.10

Pour écrire

$4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.11

Associez

$4$ et

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.13.1

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.13.3

Multipliez

$- 1$ par

$5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.13.4

Multipliez

$- - \sqrt{33}$ .

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Étape 4.2.3.13.4.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.13.4.2

Multipliez

$\sqrt{33}$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.13.5

Soustrayez

$5$ de

$8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.3

Déterminez l’espace nul quand

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Écrivez comme une matrice augmentée pour

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez chaque élément de

$R_{1}$ par

$- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 1$ un

$1$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Multipliez chaque élément de

$R_{1}$ par

$- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 1$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Réalisez l’opération de ligne

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 1$ un

$0$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$x + \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

Étape 4.3.5

Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Écrivez comme un ensemble de solutions.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 4.3.7

La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

L’espace propre de

$B$ est la liste de l’espace de vecteur de chaque valeur propre.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

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