Algèbre Exemples
A=[350750110]A=⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦
Étape 1
Étape 1.1
Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique p(λ)p(λ).
p(λ)=déterminant(A-λI3)
Étape 1.2
La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille 3 est la matrice carrée 3×3 avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.
[100010001]
Étape 1.3
Remplacez les valeurs connues dans p(λ)=déterminant(A-λI3).
Étape 1.3.1
Remplacez A par [350750110].
p(λ)=déterminant([350750110]-λI3)
Étape 1.3.2
Remplacez I3 par [100010001].
p(λ)=déterminant([350750110]-λ[100010001])
p(λ)=déterminant([350750110]-λ[100010001])
Étape 1.4
Simplifiez
Étape 1.4.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.4.1.1
Multipliez -λ par chaque élément de la matrice.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 1.4.1.2.1
Multipliez -1 par 1.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.2
Multipliez -λ⋅0.
Étape 1.4.1.2.2.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.2.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.3
Multipliez -λ⋅0.
Étape 1.4.1.2.3.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.3.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.4
Multipliez -λ⋅0.
Étape 1.4.1.2.4.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.4.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.5
Multipliez -1 par 1.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.6
Multipliez -λ⋅0.
Étape 1.4.1.2.6.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.6.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.7
Multipliez -λ⋅0.
Étape 1.4.1.2.7.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.7.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.8
Multipliez -λ⋅0.
Étape 1.4.1.2.8.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.8.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.9
Multipliez -1 par 1.
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=déterminant([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
Étape 1.4.2
Additionnez les éléments correspondants.
p(λ)=déterminant[3-λ5+00+07+05-λ0+01+01+00-λ]
Étape 1.4.3
Simplifiez chaque élément.
Étape 1.4.3.1
Additionnez 5 et 0.
p(λ)=déterminant[3-λ50+07+05-λ0+01+01+00-λ]
Étape 1.4.3.2
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[3-λ507+05-λ0+01+01+00-λ]
Étape 1.4.3.3
Additionnez 7 et 0.
p(λ)=déterminant[3-λ5075-λ0+01+01+00-λ]
Étape 1.4.3.4
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[3-λ5075-λ01+01+00-λ]
Étape 1.4.3.5
Additionnez 1 et 0.
p(λ)=déterminant[3-λ5075-λ011+00-λ]
Étape 1.4.3.6
Additionnez 1 et 0.
p(λ)=déterminant[3-λ5075-λ0110-λ]
Étape 1.4.3.7
Soustrayez λ de 0.
p(λ)=déterminant[3-λ5075-λ011-λ]
p(λ)=déterminant[3-λ5075-λ011-λ]
p(λ)=déterminant[3-λ5075-λ011-λ]
Étape 1.5
Déterminez le déterminant.
Étape 1.5.1
Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments 0. S’il n’y a aucun élément 0, choisissez n’importe quelle ligne ou colonne. Multipliez chaque élément de la colonne 3 par son cofacteur et additionnez.
Étape 1.5.1.1
Utilisez le tableau de signes correspondant.
|+-+-+-+-+|
Étape 1.5.1.2
Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position - sur le tableau de signes.
Étape 1.5.1.3
Le mineur pour a13 est le déterminant dont la ligne 1 et la colonne 3 sont supprimées.
|75-λ11|
Étape 1.5.1.4
Multipliez l’élément a13 par son cofacteur.
0|75-λ11|
Étape 1.5.1.5
Le mineur pour a23 est le déterminant dont la ligne 2 et la colonne 3 sont supprimées.
|3-λ511|
Étape 1.5.1.6
Multipliez l’élément a23 par son cofacteur.
0|3-λ511|
Étape 1.5.1.7
Le mineur pour a33 est le déterminant dont la ligne 3 et la colonne 3 sont supprimées.
|3-λ575-λ|
Étape 1.5.1.8
Multipliez l’élément a33 par son cofacteur.
-λ|3-λ575-λ|
Étape 1.5.1.9
Additionnez les termes entre eux.
p(λ)=0|75-λ11|+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
p(λ)=0|75-λ11|+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
Étape 1.5.2
Multipliez 0 par |75-λ11|.
p(λ)=0+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
Étape 1.5.3
Multipliez 0 par |3-λ511|.
p(λ)=0+0-λ|3-λ575-λ|
Étape 1.5.4
Évaluez |3-λ575-λ|.
Étape 1.5.4.1
Le déterminant d’une matrice 2×2 peut être déterminé en utilisant la formule |abcd|=ad-cb.
p(λ)=0+0-λ((3-λ)(5-λ)-7⋅5)
Étape 1.5.4.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 1.5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.5.4.2.1.1
Développez (3-λ)(5-λ) à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 1.5.4.2.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
p(λ)=0+0-λ(3(5-λ)-λ(5-λ)-7⋅5)
Étape 1.5.4.2.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ(5-λ)-7⋅5)
Étape 1.5.4.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Étape 1.5.4.2.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 1.5.4.2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.5.4.2.1.2.1.1
Multipliez 3 par 5.
p(λ)=0+0-λ(15+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Étape 1.5.4.2.1.2.1.2
Multipliez -1 par 3.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Étape 1.5.4.2.1.2.1.3
Multipliez 5 par -1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-λ(-λ)-7⋅5)
Étape 1.5.4.2.1.2.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ⋅λ-7⋅5)
Étape 1.5.4.2.1.2.1.5
Multipliez λ par λ en additionnant les exposants.
Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Déplacez λ.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1(λ⋅λ)-7⋅5)
Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Multipliez λ par λ.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ2-7⋅5)
Étape 1.5.4.2.1.2.1.6
Multipliez -1 par -1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+1λ2-7⋅5)
Étape 1.5.4.2.1.2.1.7
Multipliez λ2 par 1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+λ2-7⋅5)
Étape 1.5.4.2.1.2.2
Soustrayez 5λ de -3λ.
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-7⋅5)
Étape 1.5.4.2.1.3
Multipliez -7 par 5.
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-35)
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-35)
Étape 1.5.4.2.2
Soustrayez 35 de 15.
p(λ)=0+0-λ(-8λ+λ2-20)
Étape 1.5.4.2.3
Remettez dans l’ordre -8λ et λ2.
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
Étape 1.5.5
Simplifiez le déterminant.
Étape 1.5.5.1
Associez les termes opposés dans 0+0-λ(λ2-8λ-20).
Étape 1.5.5.1.1
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=0-λ(λ2-8λ-20)
Étape 1.5.5.1.2
Soustrayez λ(λ2-8λ-20) de 0.
p(λ)=-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=-λ(λ2-8λ-20)
Étape 1.5.5.2
Appliquez la propriété distributive.
p(λ)=-λ⋅λ2-λ(-8λ)-λ⋅-20
Étape 1.5.5.3
Simplifiez
Étape 1.5.5.3.1
Multipliez λ par λ2 en additionnant les exposants.
Étape 1.5.5.3.1.1
Déplacez λ2.
p(λ)=-(λ2λ)-λ(-8λ)-λ⋅-20
Étape 1.5.5.3.1.2
Multipliez λ2 par λ.
Étape 1.5.5.3.1.2.1
Élevez λ à la puissance 1.
p(λ)=-(λ2λ1)-λ(-8λ)-λ⋅-20
Étape 1.5.5.3.1.2.2
Utilisez la règle de puissance aman=am+n pour associer des exposants.
p(λ)=-λ2+1-λ(-8λ)-λ⋅-20
p(λ)=-λ2+1-λ(-8λ)-λ⋅-20
Étape 1.5.5.3.1.3
Additionnez 2 et 1.
p(λ)=-λ3-λ(-8λ)-λ⋅-20
p(λ)=-λ3-λ(-8λ)-λ⋅-20
Étape 1.5.5.3.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ-λ⋅-20
Étape 1.5.5.3.3
Multipliez -20 par -1.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ+20λ
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ+20λ
Étape 1.5.5.4
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.5.5.4.1
Multipliez λ par λ en additionnant les exposants.
Étape 1.5.5.4.1.1
Déplacez λ.
p(λ)=-λ3-1⋅-8(λ⋅λ)+20λ
Étape 1.5.5.4.1.2
Multipliez λ par λ.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ2+20λ
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ2+20λ
Étape 1.5.5.4.2
Multipliez -1 par -8.
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
Étape 1.6
Définissez le polynôme caractéristique égal à 0 pour déterminer les valeurs propres λ.
-λ3+8λ2+20λ=0
Étape 1.7
Résolvez λ.
Étape 1.7.1
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Étape 1.7.1.1
Factorisez -λ à partir de -λ3+8λ2+20λ.
Étape 1.7.1.1.1
Factorisez -λ à partir de -λ3.
-λ⋅λ2+8λ2+20λ=0
Étape 1.7.1.1.2
Factorisez -λ à partir de 8λ2.
-λ⋅λ2-λ(-8λ)+20λ=0
Étape 1.7.1.1.3
Factorisez -λ à partir de 20λ.
-λ⋅λ2-λ(-8λ)-λ⋅-20=0
Étape 1.7.1.1.4
Factorisez -λ à partir de -λ(λ2)-λ(-8λ).
-λ(λ2-8λ)-λ⋅-20=0
Étape 1.7.1.1.5
Factorisez -λ à partir de -λ(λ2-8λ)-λ(-20).
-λ(λ2-8λ-20)=0
-λ(λ2-8λ-20)=0
Étape 1.7.1.2
Factorisez.
Étape 1.7.1.2.1
Factorisez λ2-8λ-20 à l’aide de la méthode AC.
Étape 1.7.1.2.1.1
Étudiez la forme x2+bx+c. Déterminez une paire d’entiers dont le produit est c et dont la somme est b. Dans ce cas, dont le produit est -20 et dont la somme est -8.
-10,2
Étape 1.7.1.2.1.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
-λ((λ-10)(λ+2))=0
-λ((λ-10)(λ+2))=0
Étape 1.7.1.2.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
-λ(λ-10)(λ+2)=0
-λ(λ-10)(λ+2)=0
-λ(λ-10)(λ+2)=0
Étape 1.7.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à 0, l’expression entière sera égale à 0.
λ=0
λ-10=0
λ+2=0
Étape 1.7.3
Définissez λ égal à 0.
λ=0
Étape 1.7.4
Définissez λ-10 égal à 0 et résolvez λ.
Étape 1.7.4.1
Définissez λ-10 égal à 0.
λ-10=0
Étape 1.7.4.2
Ajoutez 10 aux deux côtés de l’équation.
λ=10
λ=10
Étape 1.7.5
Définissez λ+2 égal à 0 et résolvez λ.
Étape 1.7.5.1
Définissez λ+2 égal à 0.
λ+2=0
Étape 1.7.5.2
Soustrayez 2 des deux côtés de l’équation.
λ=-2
λ=-2
Étape 1.7.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent -λ(λ-10)(λ+2)=0 vraie.
λ=0,10,-2
λ=0,10,-2
λ=0,10,-2
Étape 2
Le vecteur propre est égal à l’espace nul de la matrice moins la valeur propre fois la matrice d’identité où N est l’espace nul et I est la matrice d’identité.
εA=N(A-λI3)
Étape 3
Étape 3.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
N([350750110]+0[100010001])
Étape 3.2
Simplifiez
Étape 3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.2.1.1
Multipliez 0 par chaque élément de la matrice.
[350750110]+[0⋅10⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 3.2.1.2.1
Multipliez 0 par 1.
[350750110]+[00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.2
Multipliez 0 par 0.
[350750110]+[000⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.3
Multipliez 0 par 0.
[350750110]+[0000⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.4
Multipliez 0 par 0.
[350750110]+[00000⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.5
Multipliez 0 par 1.
[350750110]+[000000⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.6
Multipliez 0 par 0.
[350750110]+[0000000⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.7
Multipliez 0 par 0.
[350750110]+[00000000⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.8
Multipliez 0 par 0.
[350750110]+[000000000⋅1]
Étape 3.2.1.2.9
Multipliez 0 par 1.
[350750110]+[000000000]
[350750110]+[000000000]
[350750110]+[000000000]
Étape 3.2.2
L’ajout de toute matrice à la matrice nulle est une matrice en lui-même.
Étape 3.2.2.1
Additionnez les éléments correspondants.
[3+05+00+07+05+00+01+01+00+0]
Étape 3.2.2.2
Simplifiez chaque élément.
Étape 3.2.2.2.1
Additionnez 3 et 0.
[35+00+07+05+00+01+01+00+0]
Étape 3.2.2.2.2
Additionnez 5 et 0.
[350+07+05+00+01+01+00+0]
Étape 3.2.2.2.3
Additionnez 0 et 0.
[3507+05+00+01+01+00+0]
Étape 3.2.2.2.4
Additionnez 7 et 0.
[35075+00+01+01+00+0]
Étape 3.2.2.2.5
Additionnez 5 et 0.
[350750+01+01+00+0]
Étape 3.2.2.2.6
Additionnez 0 et 0.
[3507501+01+00+0]
Étape 3.2.2.2.7
Additionnez 1 et 0.
[35075011+00+0]
Étape 3.2.2.2.8
Additionnez 1 et 0.
[350750110+0]
Étape 3.2.2.2.9
Additionnez 0 et 0.
[350750110]
[350750110]
[350750110]
[350750110]
Étape 3.3
Déterminez l’espace nul quand λ=0.
Étape 3.3.1
Écrivez comme une matrice augmentée pour Ax=0.
[350075001100]
Étape 3.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Étape 3.3.2.1
Multipliez chaque élément de R1 par 13 pour faire de l’entrée sur 1,1 un 1.
Étape 3.3.2.1.1
Multipliez chaque élément de R1 par 13 pour faire de l’entrée sur 1,1 un 1.
[3353030375001100]
Étape 3.3.2.1.2
Simplifiez R1.
[1530075001100]
[1530075001100]
Étape 3.3.2.2
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-7R1 pour faire de l’entrée sur 2,1 un 0.
Étape 3.3.2.2.1
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-7R1 pour faire de l’entrée sur 2,1 un 0.
[153007-7⋅15-7(53)0-7⋅00-7⋅01100]
Étape 3.3.2.2.2
Simplifiez R2.
[153000-203001100]
[153000-203001100]
Étape 3.3.2.3
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-R1 pour faire de l’entrée sur 3,1 un 0.
Étape 3.3.2.3.1
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-R1 pour faire de l’entrée sur 3,1 un 0.
[153000-203001-11-530-00-0]
Étape 3.3.2.3.2
Simplifiez R3.
[153000-203000-2300]
[153000-203000-2300]
Étape 3.3.2.4
Multipliez chaque élément de R2 par -320 pour faire de l’entrée sur 2,2 un 1.
Étape 3.3.2.4.1
Multipliez chaque élément de R2 par -320 pour faire de l’entrée sur 2,2 un 1.
[15300-320⋅0-320(-203)-320⋅0-320⋅00-2300]
Étape 3.3.2.4.2
Simplifiez R2.
[1530001000-2300]
[1530001000-2300]
Étape 3.3.2.5
Réalisez l’opération de ligne R3=R3+23R2 pour faire de l’entrée sur 3,2 un 0.
Étape 3.3.2.5.1
Réalisez l’opération de ligne R3=R3+23R2 pour faire de l’entrée sur 3,2 un 0.
[1530001000+23⋅0-23+23⋅10+23⋅00+23⋅0]
Étape 3.3.2.5.2
Simplifiez R3.
[1530001000000]
[1530001000000]
Étape 3.3.2.6
Réalisez l’opération de ligne R1=R1-53R2 pour faire de l’entrée sur 1,2 un 0.
Étape 3.3.2.6.1
Réalisez l’opération de ligne R1=R1-53R2 pour faire de l’entrée sur 1,2 un 0.
[1-53⋅053-53⋅10-53⋅00-53⋅001000000]
Étape 3.3.2.6.2
Simplifiez R1.
[100001000000]
[100001000000]
[100001000000]
Étape 3.3.3
Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.
x=0
y=0
0=0
Étape 3.3.4
Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.
[xyz]=[00z]
Étape 3.3.5
Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.
[xyz]=z[001]
Étape 3.3.6
Écrivez comme un ensemble de solutions.
{z[001]|z∈R}
Étape 3.3.7
La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.
{[001]}
{[001]}
{[001]}
Étape 4
Étape 4.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
N([350750110]-10[100010001])
Étape 4.2
Simplifiez
Étape 4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.2.1.1
Multipliez -10 par chaque élément de la matrice.
[350750110]+[-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Étape 4.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 4.2.1.2.1
Multipliez -10 par 1.
[350750110]+[-10-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Étape 4.2.1.2.2
Multipliez -10 par 0.
[350750110]+[-100-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Étape 4.2.1.2.3
Multipliez -10 par 0.
[350750110]+[-1000-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Étape 4.2.1.2.4
Multipliez -10 par 0.
[350750110]+[-10000-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Étape 4.2.1.2.5
Multipliez -10 par 1.
[350750110]+[-10000-10-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Étape 4.2.1.2.6
Multipliez -10 par 0.
[350750110]+[-10000-100-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Étape 4.2.1.2.7
Multipliez -10 par 0.
[350750110]+[-10000-1000-10⋅0-10⋅1]
Étape 4.2.1.2.8
Multipliez -10 par 0.
[350750110]+[-10000-10000-10⋅1]
Étape 4.2.1.2.9
Multipliez -10 par 1.
[350750110]+[-10000-10000-10]
[350750110]+[-10000-10000-10]
[350750110]+[-10000-10000-10]
Étape 4.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
[3-105+00+07+05-100+01+01+00-10]
Étape 4.2.3
Simplifiez chaque élément.
Étape 4.2.3.1
Soustrayez 10 de 3.
[-75+00+07+05-100+01+01+00-10]
Étape 4.2.3.2
Additionnez 5 et 0.
[-750+07+05-100+01+01+00-10]
Étape 4.2.3.3
Additionnez 0 et 0.
[-7507+05-100+01+01+00-10]
Étape 4.2.3.4
Additionnez 7 et 0.
[-75075-100+01+01+00-10]
Étape 4.2.3.5
Soustrayez 10 de 5.
[-7507-50+01+01+00-10]
Étape 4.2.3.6
Additionnez 0 et 0.
[-7507-501+01+00-10]
Étape 4.2.3.7
Additionnez 1 et 0.
[-7507-5011+00-10]
Étape 4.2.3.8
Additionnez 1 et 0.
[-7507-50110-10]
Étape 4.2.3.9
Soustrayez 10 de 0.
[-7507-5011-10]
[-7507-5011-10]
[-7507-5011-10]
Étape 4.3
Déterminez l’espace nul quand λ=10.
Étape 4.3.1
Écrivez comme une matrice augmentée pour Ax=0.
[-75007-50011-100]
Étape 4.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Étape 4.3.2.1
Multipliez chaque élément de R1 par -17 pour faire de l’entrée sur 1,1 un 1.
Étape 4.3.2.1.1
Multipliez chaque élément de R1 par -17 pour faire de l’entrée sur 1,1 un 1.
[-17⋅-7-17⋅5-17⋅0-17⋅07-50011-100]
Étape 4.3.2.1.2
Simplifiez R1.
[1-57007-50011-100]
[1-57007-50011-100]
Étape 4.3.2.2
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-7R1 pour faire de l’entrée sur 2,1 un 0.
Étape 4.3.2.2.1
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-7R1 pour faire de l’entrée sur 2,1 un 0.
[1-57007-7⋅1-5-7(-57)0-7⋅00-7⋅011-100]
Étape 4.3.2.2.2
Simplifiez R2.
[1-5700000011-100]
[1-5700000011-100]
Étape 4.3.2.3
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-R1 pour faire de l’entrée sur 3,1 un 0.
Étape 4.3.2.3.1
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-R1 pour faire de l’entrée sur 3,1 un 0.
[1-570000001-11+57-10-00-0]
Étape 4.3.2.3.2
Simplifiez R3.
[1-570000000127-100]
[1-570000000127-100]
Étape 4.3.2.4
Inversez R3 avec R2 pour placer une entrée non nulle sur 2,2.
[1-57000127-1000000]
Étape 4.3.2.5
Multipliez chaque élément de R2 par 712 pour faire de l’entrée sur 2,2 un 1.
Étape 4.3.2.5.1
Multipliez chaque élément de R2 par 712 pour faire de l’entrée sur 2,2 un 1.
[1-5700712⋅0712⋅127712⋅-10712⋅00000]
Étape 4.3.2.5.2
Simplifiez R2.
[1-570001-35600000]
[1-570001-35600000]
Étape 4.3.2.6
Réalisez l’opération de ligne R1=R1+57R2 pour faire de l’entrée sur 1,2 un 0.
Étape 4.3.2.6.1
Réalisez l’opération de ligne R1=R1+57R2 pour faire de l’entrée sur 1,2 un 0.
[1+57⋅0-57+57⋅10+57(-356)0+57⋅001-35600000]
Étape 4.3.2.6.2
Simplifiez R1.
[10-256001-35600000]
[10-256001-35600000]
[10-256001-35600000]
Étape 4.3.3
Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.
x-256z=0
y-356z=0
0=0
Étape 4.3.4
Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.
[xyz]=[25z635z6z]
Étape 4.3.5
Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.
[xyz]=z[2563561]
Étape 4.3.6
Écrivez comme un ensemble de solutions.
{z[2563561]|z∈R}
Étape 4.3.7
La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.
{[2563561]}
{[2563561]}
{[2563561]}
Étape 5
Étape 5.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
N([350750110]+2[100010001])
Étape 5.2
Simplifiez
Étape 5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.1.1
Multipliez 2 par chaque élément de la matrice.
[350750110]+[2⋅12⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Étape 5.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 5.2.1.2.1
Multipliez 2 par 1.
[350750110]+[22⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Étape 5.2.1.2.2
Multipliez 2 par 0.
[350750110]+[202⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Étape 5.2.1.2.3
Multipliez 2 par 0.
[350750110]+[2002⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Étape 5.2.1.2.4
Multipliez 2 par 0.
[350750110]+[20002⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Étape 5.2.1.2.5
Multipliez 2 par 1.
[350750110]+[200022⋅02⋅02⋅02⋅1]
Étape 5.2.1.2.6
Multipliez 2 par 0.
[350750110]+[2000202⋅02⋅02⋅1]
Étape 5.2.1.2.7
Multipliez 2 par 0.
[350750110]+[20002002⋅02⋅1]
Étape 5.2.1.2.8
Multipliez 2 par 0.
[350750110]+[200020002⋅1]
Étape 5.2.1.2.9
Multipliez 2 par 1.
[350750110]+[200020002]
[350750110]+[200020002]
[350750110]+[200020002]
Étape 5.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
[3+25+00+07+05+20+01+01+00+2]
Étape 5.2.3
Simplifiez chaque élément.
Étape 5.2.3.1
Additionnez 3 et 2.
[55+00+07+05+20+01+01+00+2]
Étape 5.2.3.2
Additionnez 5 et 0.
[550+07+05+20+01+01+00+2]
Étape 5.2.3.3
Additionnez 0 et 0.
[5507+05+20+01+01+00+2]
Étape 5.2.3.4
Additionnez 7 et 0.
[55075+20+01+01+00+2]
Étape 5.2.3.5
Additionnez 5 et 2.
[550770+01+01+00+2]
Étape 5.2.3.6
Additionnez 0 et 0.
[5507701+01+00+2]
Étape 5.2.3.7
Additionnez 1 et 0.
[55077011+00+2]
Étape 5.2.3.8
Additionnez 1 et 0.
[550770110+2]
Étape 5.2.3.9
Additionnez 0 et 2.
[550770112]
[550770112]
[550770112]
Étape 5.3
Déterminez l’espace nul quand λ=-2.
Étape 5.3.1
Écrivez comme une matrice augmentée pour Ax=0.
[550077001120]
Étape 5.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Étape 5.3.2.1
Multipliez chaque élément de R1 par 15 pour faire de l’entrée sur 1,1 un 1.
Étape 5.3.2.1.1
Multipliez chaque élément de R1 par 15 pour faire de l’entrée sur 1,1 un 1.
[5555050577001120]
Étape 5.3.2.1.2
Simplifiez R1.
[110077001120]
[110077001120]
Étape 5.3.2.2
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-7R1 pour faire de l’entrée sur 2,1 un 0.
Étape 5.3.2.2.1
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-7R1 pour faire de l’entrée sur 2,1 un 0.
[11007-7⋅17-7⋅10-7⋅00-7⋅01120]
Étape 5.3.2.2.2
Simplifiez R2.
[110000001120]
[110000001120]
Étape 5.3.2.3
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-R1 pour faire de l’entrée sur 3,1 un 0.
Étape 5.3.2.3.1
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-R1 pour faire de l’entrée sur 3,1 un 0.
[110000001-11-12-00-0]
Étape 5.3.2.3.2
Simplifiez R3.
[110000000020]
[110000000020]
Étape 5.3.2.4
Inversez R3 avec R2 pour placer une entrée non nulle sur 2,3.
[110000200000]
Étape 5.3.2.5
Multipliez chaque élément de R2 par 12 pour faire de l’entrée sur 2,3 un 1.
Étape 5.3.2.5.1
Multipliez chaque élément de R2 par 12 pour faire de l’entrée sur 2,3 un 1.
[1100020222020000]
Étape 5.3.2.5.2
Simplifiez R2.
[110000100000]
[110000100000]
[110000100000]
Étape 5.3.3
Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.
x+y=0
z=0
0=0
Étape 5.3.4
Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.
[xyz]=[-yy0]
Étape 5.3.5
Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.
[xyz]=y[-110]
Étape 5.3.6
Écrivez comme un ensemble de solutions.
{y[-110]|y∈R}
Étape 5.3.7
La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.
{[-110]}
{[-110]}
{[-110]}
Étape 6
L’espace propre de A est la liste de l’espace de vecteur de chaque valeur propre.
{[001],[2563561],[-110]}
