Algèbre Exemples

4 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$4 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme par

12

$12$ pour rendre le côté droit égal à un.

\frac{4 x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}

$\frac{4 x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à

1

$1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit

1

$1$ .

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable

a

$a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse,

b

$b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse,

h

$h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et

k

$k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

a = 2

$a = 2$

b = \sqrt{3}

$b = \sqrt{3}$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de

(h, k)

$(h, k)$ . Remplacez les valeurs de

h

$h$ et

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez

c

$c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule.

\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}

$\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ comme

3

$3$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ comme

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 - 3^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$\sqrt{4 - 3}$

Étape 5.3.3.2

Soustrayez

$3$ de

$4$ .

$\sqrt{1}$

Étape 5.3.3.3

Toute racine de

$1$ est

$1$ .

$1$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant

$a$ à

$k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de

$h$ ,

$a$ et

$k$ dans la formule.

$(0, 0 + 2)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(0, 2)$

Étape 6.4

Le deuxième sommet d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant

$a$ à

$k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de

$h$ ,

$a$ et

$k$ dans la formule.

$(0, 0 - (2))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(0, - 2)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ :

$(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ :

$(0, - 2)$

${Vertex}_{1}$ :

$(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ :

$(0, - 2)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant

$c$ à

$k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de

$h$ ,

$c$ et

$k$ dans la formule.

$(0, 0 + 1)$

Étape 7.3

Simplifiez

$(0, 1)$

Étape 7.4

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant

$c$ à

$k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de

$h$ ,

$c$ et

$k$ dans la formule.

$(0, 0 - (1))$

Étape 7.6

Simplifiez

$(0, - 1)$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ :

$(0, 1)$

${Focus}_{2}$ :

$(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ :

$(0, 1)$

${Focus}_{2}$ :

$(0, - 1)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de

$a$ et

$b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.2

Réécrivez

${\sqrt{3}}^{2}$ comme

$3$ .

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Étape 8.3.2.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{3}$ comme

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Étape 8.3.2.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Étape 8.3.2.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 8.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Étape 8.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}$

Étape 8.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}$

Étape 8.3.3

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$\frac{\sqrt{4 - 3}}{2}$

Étape 8.3.4

Soustrayez

$3$ de

$4$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2}$

Étape 8.3.5

Toute racine de

$1$ est

$1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre :

$(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ :

$(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ :

$(0, - 2)$

${Focus}_{1}$ :

$(0, 1)$

${Focus}_{2}$ :

$(0, - 1)$

Excentricité :

$\frac{1}{2}$

Étape 10

Saisissez VOTRE problème