Algèbre Exemples

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y + 52 = 3$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas de variable du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $52$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = 3 - 52$

Étape 1.2

Soustrayez $52$ de $3$ .

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$

Étape 2

Complétez le carré pour $4 x^{2} + 8 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{4}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4}{4}$

Étape 2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez $64$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Étape 3

Remplacez $4 x^{2} + 8 x$ par $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ dans l’équation $4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 9 y^{2} + 54 y = - 49$

Étape 4

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 49 + 4$

Étape 5

Complétez le carré pour $9 y^{2} + 54 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $54$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{27}{9}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $27$ et $9$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 5.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $54$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $2916$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$e = 0 - 81$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Étape 6

Remplacez $9 y^{2} + 54 y$ par $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ dans l’équation $4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 49 + 4$

Étape 7

Déplacez $- 81$ du côté droit de l’équation en ajoutant $81$ des deux côtés.

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 49 + 4 + 81$

Étape 8

Simplifiez $- 49 + 4 + 81$ .

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Étape 8.1

Additionnez $- 49$ et $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 45 + 81$

Étape 8.2

Additionnez $- 45$ et $81$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 36$

Étape 9

Divisez chaque terme par $36$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$

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