Algèbre Exemples

x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y - 98 = 0

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y - 98 = 0$

Étape 1

Ajoutez

98

$98$ aux deux côtés de l’équation.

x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 98

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 98$

Étape 2

Complétez le carré pour

x^{2} + 2 x

$x^{2} + 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

b

$b$ et

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = 2

$b = 2$

c = 0

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de

d

$d$ en utilisant la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de

$e$ en utilisant la formule

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de

$c$ ,

$b$ et

$a$ dans la formule

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez

$4$ par

$1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de

$4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 2.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez

$1$ de

$0$ .

$e = - 1$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de

$a$ ,

$d$ et

$e$ dans la forme du sommet

${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Étape 3

Remplacez

$x^{2} + 2 x$ par

${(x + 1)}^{2} - 1$ dans l’équation

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 98$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 - 9 y^{2} - 54 y = 98$

Étape 4

Déplacez

$- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant

$1$ des deux côtés.

${(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} - 54 y = 98 + 1$

Étape 5

Complétez le carré pour

$- 9 y^{2} - 54 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Utilisez la forme

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

$a$ ,

$b$ et

$c$ .

$a = - 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de

$d$ en utilisant la formule

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de

$a$ et

$b$ dans la formule

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à

$- 54$ et

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Factorisez

$2$ à partir de

$- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (- 9)}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 27}{- 9}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun à

$- 27$ et

$- 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Factorisez

$- 9$ à partir de

$- 27$ .

$d = \frac{- 9 (3)}{- 9}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.2.1

Factorisez

$- 9$ à partir de

$- 9$ .

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 5.3.2.2.2.4

Divisez

$3$ par

$1$ .

$d = 3$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de

$e$ en utilisant la formule

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de

$c$ ,

$b$ et

$a$ dans la formule

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Élevez

$- 54$ à la puissance

$2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot - 9}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez

$4$ par

$- 9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{- 36}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez

$2916$ par

$- 36$ .

$e = 0 - - 81$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez

$- 1$ par

$- 81$ .

$e = 0 + 81$

Étape 5.4.2.2

Additionnez

$0$ et

$81$ .

$e = 81$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de

$a$ ,

$d$ et

$e$ dans la forme du sommet

$- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ .

$- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$

Étape 6

Remplacez

$- 9 y^{2} - 54 y$ par

$- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ dans l’équation

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 98$ .

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} + 81 = 98 + 1$

Étape 7

Déplacez

$81$ du côté droit de l’équation en ajoutant

$81$ des deux côtés.

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 98 + 1 - 81$

Étape 8

Simplifiez

$98 + 1 - 81$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Additionnez

$98$ et

$1$ .

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 99 - 81$

Étape 8.2

Soustrayez

$81$ de

$99$ .

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 18$

Étape 9

Divisez chaque terme par

$18$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{18} - \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à

$1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit

$1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{18} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{2} = 1$

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