Algèbre Exemples

x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x - y = 0

$x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x - y = 0$

Étape 1

Soustrayez

1

$1$ des deux côtés de l’équation.

x^{2} + y^{2} + 2 x - y = - 1

$x^{2} + y^{2} + 2 x - y = - 1$

Étape 2

Complétez le carré pour

x^{2} + 2 x

$x^{2} + 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

b

$b$ et

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = 2

$b = 2$

c = 0

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de

d

$d$ en utilisant la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

d = \frac{2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de

e

$e$ en utilisant la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de

c

$c$ ,

b

$b$ et

a

$a$ dans la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

e = 0 - \frac{4}{4}

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de

4

$4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

e = 0 - \frac{4}{4}

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 2.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

e = 0 - 1 \cdot 1

$e = 0 - 1 \cdot 1$

e = 0 - 1 \cdot 1

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

e = 0 - 1

$e = 0 - 1$

e = 0 - 1

$e = 0 - 1$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez

1

$1$ de

0

$0$ .

e = - 1

$e = - 1$

e = - 1

$e = - 1$

e = - 1

$e = - 1$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de

a

$a$ ,

d

$d$ et

e

$e$ dans la forme du sommet

{(x + 1)}^{2} - 1

${(x + 1)}^{2} - 1$ .

{(x + 1)}^{2} - 1

${(x + 1)}^{2} - 1$

{(x + 1)}^{2} - 1

${(x + 1)}^{2} - 1$

Étape 3

Remplacez

x^{2} + 2 x

$x^{2} + 2 x$ par

{(x + 1)}^{2} - 1

${(x + 1)}^{2} - 1$ dans l’équation

x^{2} + y^{2} + 2 x - y = - 1

$x^{2} + y^{2} + 2 x - y = - 1$ .

{(x + 1)}^{2} - 1 + y^{2} - y = - 1

${(x + 1)}^{2} - 1 + y^{2} - y = - 1$

Étape 4

Déplacez

- 1

$- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant

1

$1$ des deux côtés.

{(x + 1)}^{2} + y^{2} - y = - 1 + 1

${(x + 1)}^{2} + y^{2} - y = - 1 + 1$

Étape 5

Complétez le carré pour

y^{2} - y

$y^{2} - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Utilisez la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

b

$b$ et

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 1

$b = - 1$

c = 0

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de

d

$d$ en utilisant la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à

- 1

$- 1$ et

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Réécrivez

- 1

$- 1$ comme

- 1 (1)

$- 1 (1)$ .

d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

d = \frac{- 1}{2}

$d = \frac{- 1}{2}$

d = \frac{- 1}{2}

$d = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

d = - \frac{1}{2}

$d = - \frac{1}{2}$

d = - \frac{1}{2}

$d = - \frac{1}{2}$

d = - \frac{1}{2}

$d = - \frac{1}{2}$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de

e

$e$ en utilisant la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de

c

$c$ ,

b

$b$ et

a

$a$ dans la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

2

$2$ .

e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

e = 0 - \frac{1}{4}

$e = 0 - \frac{1}{4}$

e = 0 - \frac{1}{4}

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ de

0

$0$ .

e = - \frac{1}{4}

$e = - \frac{1}{4}$

e = - \frac{1}{4}

$e = - \frac{1}{4}$

e = - \frac{1}{4}

$e = - \frac{1}{4}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de

a

$a$ ,

d

$d$ et

e

$e$ dans la forme du sommet

{(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}

${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

{(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}

${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

{(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}

${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Étape 6

Remplacez

y^{2} - y

$y^{2} - y$ par

{(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}

${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ dans l’équation

x^{2} + y^{2} + 2 x - y = - 1

$x^{2} + y^{2} + 2 x - y = - 1$ .

{(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = - 1 + 1

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = - 1 + 1$

Étape 7

Déplacez

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ des deux côtés.

{(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = - 1 + 1 + \frac{1}{4}

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = - 1 + 1 + \frac{1}{4}$

Étape 8

Simplifiez

$- 1 + 1 + \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Écrivez

$- 1$ comme une fraction avec le dénominateur

$1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 1}{1} + 1 + \frac{1}{4}$

Étape 8.1.2

Multipliez

$\frac{- 1}{1}$ par

$\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 + \frac{1}{4}$

Étape 8.1.3

Multipliez

$\frac{- 1}{1}$ par

$\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + 1 + \frac{1}{4}$

Étape 8.1.4

Écrivez

$1$ comme une fraction avec le dénominateur

$1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} + \frac{1}{4}$

Étape 8.1.5

Multipliez

$\frac{1}{1}$ par

$\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 8.1.6

Multipliez

$\frac{1}{1}$ par

$\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 1 \cdot 4 + 4 + 1}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Multipliez

$- 1$ par

$4$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 4 + 4 + 1}{4}$

Étape 8.3.2

Additionnez

$- 4$ et

$4$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{0 + 1}{4}$

Étape 8.3.3

Additionnez

$0$ et

$1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$

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