Algèbre Exemples

$2 y - 4 x + x^{2} + y^{2} = 3$

Étape 1

Complétez le carré pour $2 y + y^{2}$ .

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Étape 1.1

Remettez dans l’ordre $2 y$ et $y^{2}$ .

$y^{2} + 2 y$

Étape 1.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Étape 1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 1.5.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.5.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 1.5.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 1.5.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Étape 1.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 1)}^{2} - 1$ .

${(y + 1)}^{2} - 1$

Étape 2

Remplacez $2 y + y^{2}$ par ${(y + 1)}^{2} - 1$ dans l’équation $2 y - 4 x + x^{2} + y^{2} = 3$ .

${(y + 1)}^{2} - 1 - 4 x + x^{2} = 3$

Étape 3

Déplacez $- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

${(y + 1)}^{2} - 4 x + x^{2} = 3 + 1$

Étape 4

Complétez le carré pour $- 4 x + x^{2}$ .

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Étape 4.1

Remettez dans l’ordre $- 4 x$ et $x^{2}$ .

$x^{2} - 4 x$

Étape 4.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Étape 4.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 4.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 4.4.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 4.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 4.5.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 4.5.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Étape 4.5.2.1.1.6.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 4.5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Étape 4.5.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Étape 4.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Étape 5

Remplacez $- 4 x + x^{2}$ par ${(x - 2)}^{2} - 4$ dans l’équation $2 y - 4 x + x^{2} + y^{2} = 3$ .

${(y + 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} - 4 = 3 + 1$

Étape 6

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

${(y + 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = 3 + 1 + 4$

Étape 7

Simplifiez $3 + 1 + 4$ .

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Étape 7.1

Additionnez $3$ et $1$ .

${(y + 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = 4 + 4$

Étape 7.2

Additionnez $4$ et $4$ .

${(y + 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = 8$

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