Algèbre Exemples

f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Étape 1

Écrivez

f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$ comme une équation.

y = 7 x^{2} + 5 x - 4

$y = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Étape 2

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1

Complétez le carré pour

7 x^{2} + 5 x - 4

$7 x^{2} + 5 x - 4$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

b

$b$ et

c

$c$ .

a = 7

$a = 7$

b = 5

$b = 5$

c = - 4

$c = - 4$

Étape 2.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.3

Déterminez la valeur de

d

$d$ en utilisant la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.3.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{5}{2 \cdot 7}

$d = \frac{5}{2 \cdot 7}$

Étape 2.1.3.2

Multipliez

2

$2$ par

7

$7$ .

d = \frac{5}{14}

$d = \frac{5}{14}$

d = \frac{5}{14}

$d = \frac{5}{14}$

Étape 2.1.4

Déterminez la valeur de

e

$e$ en utilisant la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.4.1

Remplacez les valeurs de

c

$c$ ,

b

$b$ et

a

$a$ dans la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = - 4 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 7}

$e = - 4 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 7}$

Étape 2.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.2.1.1

Élevez

5

$5$ à la puissance

2

$2$ .

e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot 7}

$e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot 7}$

Étape 2.1.4.2.1.2

Multipliez

4

$4$ par

7

$7$ .

e = - 4 - \frac{25}{28}

$e = - 4 - \frac{25}{28}$

e = - 4 - \frac{25}{28}

$e = - 4 - \frac{25}{28}$

Étape 2.1.4.2.2

Pour écrire

- 4

$- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{28}{28}

$\frac{28}{28}$ .

e = - 4 \cdot \frac{28}{28} - \frac{25}{28}

$e = - 4 \cdot \frac{28}{28} - \frac{25}{28}$

Étape 2.1.4.2.3

Associez

- 4

$- 4$ et

\frac{28}{28}

$\frac{28}{28}$ .

e = \frac{- 4 \cdot 28}{28} - \frac{25}{28}

$e = \frac{- 4 \cdot 28}{28} - \frac{25}{28}$

Étape 2.1.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

e = \frac{- 4 \cdot 28 - 25}{28}

$e = \frac{- 4 \cdot 28 - 25}{28}$

Étape 2.1.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.4.2.5.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

28

$28$ .

e = \frac{- 112 - 25}{28}

$e = \frac{- 112 - 25}{28}$

Étape 2.1.4.2.5.2

Soustrayez

25

$25$ de

- 112

$- 112$ .

e = \frac{- 137}{28}

$e = \frac{- 137}{28}$

e = \frac{- 137}{28}

$e = \frac{- 137}{28}$

Étape 2.1.4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

e = - \frac{137}{28}

$e = - \frac{137}{28}$

e = - \frac{137}{28}

$e = - \frac{137}{28}$

e = - \frac{137}{28}

$e = - \frac{137}{28}$

Étape 2.1.5

Remplacez les valeurs de

a

$a$ ,

d

$d$ et

e

$e$ dans la forme du sommet

7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$ .

7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

Étape 2.2

Définissez

y

$y$ égal au nouveau côté droit.

y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

Étape 3

Utilisez la forme du sommet,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

h

$h$ et

k

$k$ .

a = 7

$a = 7$

h = - \frac{5}{14}

$h = - \frac{5}{14}$

k = - \frac{137}{28}

$k = - \frac{137}{28}$

Étape 4

Comme la valeur de

a

$a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 5

Déterminez le sommet

(h, k)

$(h, k)$ .

(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

Étape 6

Déterminez

p

$p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 6.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Étape 6.2

Remplacez la valeur de

a

$a$ dans la fonction.

\frac{1}{4 \cdot 7}

$\frac{1}{4 \cdot 7}$

Étape 6.3

Multipliez

4

$4$ par

7

$7$ .

\frac{1}{28}

$\frac{1}{28}$

\frac{1}{28}

$\frac{1}{28}$

Étape 7

Déterminez le foyer.

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Étape 7.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant

p

$p$ à la coordonnée y

k

$k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de

h

$h$ ,

p

$p$ et

k

$k$ dans la formule et simplifiez.

(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

Étape 8

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

x = - \frac{5}{14}

$x = - \frac{5}{14}$

Étape 9

Déterminez la directrice.

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Étape 9.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant

p

$p$ de la coordonnée y

k

$k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

y = k - p

$y = k - p$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs connues de

p

$p$ et

k

$k$ dans la formule et simplifiez.

y = - \frac{69}{14}

$y = - \frac{69}{14}$

y = - \frac{69}{14}

$y = - \frac{69}{14}$

Étape 10

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet :

(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

Foyer :

(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

Axe de symétrie :

x = - \frac{5}{14}

$x = - \frac{5}{14}$

Directrice :

y = - \frac{69}{14}

$y = - \frac{69}{14}$

Étape 11

Saisissez VOTRE problème