Algèbre Exemples

f (x) = x^{2} - 10 x + 25

$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$

Étape 1

Écrivez

f (x) = x^{2} - 10 x + 25

$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$ comme une équation.

y = x^{2} - 10 x + 25

$y = x^{2} - 10 x + 25$

Étape 2

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1

Complétez le carré pour

x^{2} - 10 x + 25

$x^{2} - 10 x + 25$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

b

$b$ et

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 10

$b = - 10$

c = 25

$c = 25$

Étape 2.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.3

Déterminez la valeur de

d

$d$ en utilisant la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.3.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.2

Annulez le facteur commun à

- 10

$- 10$ et

2

$2$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

- 10

$- 10$ .

d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.2.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}$

Étape 2.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 5}{1}$

Étape 2.1.3.2.2.4

Divisez

$- 5$ par

$1$ .

$d = - 5$

Étape 2.1.4

Déterminez la valeur de

$e$ en utilisant la formule

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.4.1

Remplacez les valeurs de

$c$ ,

$b$ et

$a$ dans la formule

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 25 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.2.1.1

Élevez

$- 10$ à la puissance

$2$ .

$e = 25 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.4.2.1.2

Multipliez

$4$ par

$1$ .

$e = 25 - \frac{100}{4}$

Étape 2.1.4.2.1.3

Divisez

$100$ par

$4$ .

$e = 25 - 1 \cdot 25$

Étape 2.1.4.2.1.4

Multipliez

$- 1$ par

$25$ .

$e = 25 - 25$

Étape 2.1.4.2.2

Soustrayez

$25$ de

$25$ .

$e = 0$

Étape 2.1.5

Remplacez les valeurs de

$a$ ,

$d$ et

$e$ dans la forme du sommet

${(x - 5)}^{2} + 0$ .

${(x - 5)}^{2} + 0$

Étape 2.2

Définissez

$y$ égal au nouveau côté droit.

$y = {(x - 5)}^{2} + 0$

Étape 3

Utilisez la forme du sommet,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de

$a$ ,

$h$ et

$k$ .

$a = 1$

$h = 5$

$k = 0$

Étape 4

Comme la valeur de

$a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 5

Déterminez le sommet

$(h, k)$ .

$(5, 0)$

Étape 6

Déterminez

$p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 6.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 6.2

Remplacez la valeur de

$a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de

$1$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 7

Déterminez le foyer.

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Étape 7.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant

$p$ à la coordonnée y

$k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de

$h$ ,

$p$ et

$k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, \frac{1}{4})$

Étape 8

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 5$

Étape 9

Déterminez la directrice.

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Étape 9.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant

$p$ de la coordonnée y

$k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs connues de

$p$ et

$k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{1}{4}$

Étape 10

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet :

$(5, 0)$

Foyer :

$(5, \frac{1}{4})$

Axe de symétrie :

$x = 5$

Directrice :

$y = - \frac{1}{4}$

Étape 11

Saisissez VOTRE problème