Algèbre Exemples

$(- 1, 2)$ , $(5, 2)$ , $(7, 2)$

Étape 1

Il y a deux équations générales pour une ellipse.

Équation d’ellipse horizontale $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Équation d’ellipse verticale $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 2

$a$ est la distance entre le sommet $(7, 2)$ et le point central $(- 1, 2)$ .

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Étape 2.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

$a = \sqrt{{(7 - (- 1))}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a = \sqrt{{(7 + 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Additionnez $7$ et $1$ .

$a = \sqrt{8^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{64 + {(2 - 2)}^{2}}$

Étape 2.3.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$a = \sqrt{64 + 0^{2}}$

Étape 2.3.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$a = \sqrt{64 + 0}$

Étape 2.3.6

Additionnez $64$ et $0$ .

$a = \sqrt{64}$

Étape 2.3.7

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$a = \sqrt{8^{2}}$

Étape 2.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = 8$

Étape 3

$c$ est la distance entre le foyer $(5, 2)$ et le centre $(- 1, 2)$ .

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Étape 3.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

$c = \sqrt{{(5 - (- 1))}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$c = \sqrt{{(5 + 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Additionnez $5$ et $1$ .

$c = \sqrt{6^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{36 + {(2 - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Étape 3.3.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$c = \sqrt{36 + 0}$

Étape 3.3.6

Additionnez $36$ et $0$ .

$c = \sqrt{36}$

Étape 3.3.7

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$c = \sqrt{6^{2}}$

Étape 3.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$c = 6$

Étape 4

Utilisation de l’équation $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Remplacez $a$ par $8$ et $c$ par $6$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme ${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$ .

${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$

Étape 4.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$64 - b^{2} = 6^{2}$

Étape 4.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$64 - b^{2} = 36$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.1

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$- b^{2} = 36 - 64$

Étape 4.4.2

Soustrayez $64$ de $36$ .

$- b^{2} = - 28$

Étape 4.5

Divisez chaque terme dans $- b^{2} = - 28$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.5.1

Divisez chaque terme dans $- b^{2} = - 28$ par $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 28}{- 1}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 28}{- 1}$

Étape 4.5.2.2

Divisez $b^{2}$ par $1$ .

$b^{2} = \frac{- 28}{- 1}$

Étape 4.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.3.1

Divisez $- 28$ par $- 1$ .

$b^{2} = 28$

Étape 4.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$b = \pm \sqrt{28}$

Étape 4.7

Simplifiez $\pm \sqrt{28}$ .

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Étape 4.7.1

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 4.7.1.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$b = \pm \sqrt{4 (7)}$

Étape 4.7.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Étape 4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$b = \pm 2 \sqrt{7}$

Étape 4.8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$b = 2 \sqrt{7}$

Étape 4.8.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$b = - 2 \sqrt{7}$

Étape 4.8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

Étape 5

$b$ est une distance et devrait donc être un nombre positif.

$b = 2 \sqrt{7}$

Étape 6

La pente de la droite entre le foyer $(5, 2)$ et le centre $(- 1, 2)$ détermine si l’ellipse est verticale ou horizontale. Si la pente est $0$ , le graphe est horizontal. Si la pente est indéfinie, le graphe est vertical.

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Étape 6.1

La pente est égale au changement de $y$ sur le changement de $x$ , ou différence des ordonnées sur différence des abscisses.

$m = \frac{changement en y}{changement en x}$

Étape 6.2

La variation de $x$ est égale à la différence des coordonnées x (également nommées abscisses), et la variation de $y$ est égale à la différence des coordonnées y (également nommées ordonnées).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Étape 6.3

Remplacez les valeurs de $x$ et $y$ dans l’équation pour déterminer la pente.

$m = \frac{2 - (2)}{- 1 - (5)}$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$m = \frac{2 - 2}{- 1 - (5)}$

Étape 6.4.1.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - (5)}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$m = \frac{0}{- 1 - 5}$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $5$ de $- 1$ .

$m = \frac{0}{- 6}$

Étape 6.4.3

Divisez $0$ par $- 6$ .

$m = 0$

Étape 6.5

L’équation générale pour une ellipse horizontale est $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 7

Remplacez les valeurs $h = - 1$ , $k = 2$ , $a = 8$ et $b = 2 \sqrt{7}$ dans $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ pour obtenir l’équation de l’ellipse $\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Étape 8

Simplifiez pour déterminer l’équation finale de l’ellipse.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Étape 8.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Étape 8.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Étape 8.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.4.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{7}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Étape 8.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Étape 8.4.3

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 8.4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Étape 8.4.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Étape 8.4.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Étape 8.4.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Étape 8.4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Étape 8.4.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Étape 8.5

Multipliez $4$ par $7$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{28} = 1$

Étape 9

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