Algèbre Exemples

$(- 1, - 2)$ , $(2, - 2)$ , $(4, - 2)$

Étape 1

Il y a deux équations générales pour une ellipse.

Équation d’ellipse horizontale $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Équation d’ellipse verticale $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 2

$a$ est la distance entre le sommet $(4, - 2)$ et le point central $(- 1, - 2)$ .

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Étape 2.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

$a = \sqrt{{(4 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a = \sqrt{{(4 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$a = \sqrt{5^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{25 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$a = \sqrt{25 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

Étape 2.3.5

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$a = \sqrt{25 + 0^{2}}$

Étape 2.3.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$a = \sqrt{25 + 0}$

Étape 2.3.7

Additionnez $25$ et $0$ .

$a = \sqrt{25}$

Étape 2.3.8

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$a = \sqrt{5^{2}}$

Étape 2.3.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = 5$

Étape 3

$c$ est la distance entre le foyer $(2, - 2)$ et le centre $(- 1, - 2)$ .

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Étape 3.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

$c = \sqrt{{(2 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$c = \sqrt{{(2 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 3.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 3.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{9 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$c = \sqrt{9 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Étape 3.3.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Étape 3.3.7

Additionnez $9$ et $0$ .

$c = \sqrt{9}$

Étape 3.3.8

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

Étape 3.3.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$c = 3$

Étape 4

Utilisation de l’équation $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Remplacez $a$ par $5$ et $c$ par $3$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme ${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Étape 4.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$25 - b^{2} = 3^{2}$

Étape 4.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$25 - b^{2} = 9$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$- b^{2} = 9 - 25$

Étape 4.4.2

Soustrayez $25$ de $9$ .

$- b^{2} = - 16$

Étape 4.5

Divisez chaque terme dans $- b^{2} = - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.5.1

Divisez chaque terme dans $- b^{2} = - 16$ par $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.5.2.2

Divisez $b^{2}$ par $1$ .

$b^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.3.1

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$b^{2} = 16$

Étape 4.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$b = \pm \sqrt{16}$

Étape 4.7

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 4.7.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$b = \pm 4$

Étape 4.8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$b = 4$

Étape 4.8.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$b = - 4$

Étape 4.8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$b = 4, - 4$

Étape 5

$b$ est une distance et devrait donc être un nombre positif.

$b = 4$

Étape 6

La pente de la droite entre le foyer $(2, - 2)$ et le centre $(- 1, - 2)$ détermine si l’ellipse est verticale ou horizontale. Si la pente est $0$ , le graphe est horizontal. Si la pente est indéfinie, le graphe est vertical.

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Étape 6.1

La pente est égale au changement de $y$ sur le changement de $x$ , ou différence des ordonnées sur différence des abscisses.

$m = \frac{changement en y}{changement en x}$

Étape 6.2

La variation de $x$ est égale à la différence des coordonnées x (également nommées abscisses), et la variation de $y$ est égale à la différence des coordonnées y (également nommées ordonnées).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Étape 6.3

Remplacez les valeurs de $x$ et $y$ dans l’équation pour déterminer la pente.

$m = \frac{- 2 - (- 2)}{- 1 - (2)}$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$m = \frac{- 2 + 2}{- 1 - (2)}$

Étape 6.4.1.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - (2)}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - 2}$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Étape 6.4.3

Divisez $0$ par $- 3$ .

$m = 0$

Étape 6.5

L’équation générale pour une ellipse horizontale est $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 7

Remplacez les valeurs $h = - 1$ , $k = - 2$ , $a = 5$ et $b = 4$ dans $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ pour obtenir l’équation de l’ellipse $\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Étape 8

Simplifiez pour déterminer l’équation finale de l’ellipse.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{5^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Étape 8.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Étape 8.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4^{2}} = 1$

Étape 8.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Étape 9

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