Algèbre Exemples

(- 1, - 2)

$(- 1, - 2)$ ,

(2, - 2)

$(2, - 2)$ ,

(4, - 2)

$(4, - 2)$

Étape 1

Il y a deux équations générales pour une ellipse.

Équation d’ellipse horizontale

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Équation d’ellipse verticale

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 2

a

$a$ est la distance entre le sommet

(4, - 2)

$(4, - 2)$ et le point central

(- 1, - 2)

$(- 1, - 2)$ .

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Étape 2.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

a = \sqrt{{(4 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$a = \sqrt{{(4 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

a = \sqrt{{(4 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$a = \sqrt{{(4 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3.2

Additionnez

4

$4$ et

1

$1$ .

a = \sqrt{5^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$a = \sqrt{5^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3.3

Élevez

5

$5$ à la puissance

2

$2$ .

a = \sqrt{25 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$a = \sqrt{25 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 2

$- 2$ .

a = \sqrt{25 + {(- 2 + 2)}^{2}}

$a = \sqrt{25 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

Étape 2.3.5

Additionnez

- 2

$- 2$ et

2

$2$ .

a = \sqrt{25 + 0^{2}}

$a = \sqrt{25 + 0^{2}}$

Étape 2.3.6

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

a = \sqrt{25 + 0}

$a = \sqrt{25 + 0}$

Étape 2.3.7

Additionnez

25

$25$ et

0

$0$ .

a = \sqrt{25}

$a = \sqrt{25}$

Étape 2.3.8

Réécrivez

25

$25$ comme

5^{2}

$5^{2}$ .

a = \sqrt{5^{2}}

$a = \sqrt{5^{2}}$

Étape 2.3.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

a = 5

$a = 5$

a = 5

$a = 5$

a = 5

$a = 5$

Étape 3

c

$c$ est la distance entre le foyer

(2, - 2)

$(2, - 2)$ et le centre

(- 1, - 2)

$(- 1, - 2)$ .

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Étape 3.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

c = \sqrt{{(2 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$c = \sqrt{{(2 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

c = \sqrt{{(2 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$c = \sqrt{{(2 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 3.3.2

Additionnez

2

$2$ et

1

$1$ .

c = \sqrt{3^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$c = \sqrt{3^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 3.3.3

Élevez

3

$3$ à la puissance

2

$2$ .

c = \sqrt{9 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}

$c = \sqrt{9 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Étape 3.3.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 2

$- 2$ .

c = \sqrt{9 + {(- 2 + 2)}^{2}}

$c = \sqrt{9 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Additionnez

- 2

$- 2$ et

2

$2$ .

c = \sqrt{9 + 0^{2}}

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Étape 3.3.6

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

c = \sqrt{9 + 0}

$c = \sqrt{9 + 0}$

Étape 3.3.7

Additionnez

9

$9$ et

0

$0$ .

c = \sqrt{9}

$c = \sqrt{9}$

Étape 3.3.8

Réécrivez

9

$9$ comme

3^{2}

$3^{2}$ .

c = \sqrt{3^{2}}

$c = \sqrt{3^{2}}$

Étape 3.3.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

Étape 4

Utilisation de l’équation

c^{2} = a^{2} - b^{2}

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Remplacez

a

$a$ par

5

$5$ et

c

$c$ par

3

$3$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme

{(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}

${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

{(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}

${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Étape 4.2

Élevez

5

$5$ à la puissance

2

$2$ .

25 - b^{2} = 3^{2}

$25 - b^{2} = 3^{2}$

Étape 4.3

Élevez

3

$3$ à la puissance

2

$2$ .

25 - b^{2} = 9

$25 - b^{2} = 9$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas

b

$b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.1

Soustrayez

25

$25$ des deux côtés de l’équation.

- b^{2} = 9 - 25

$- b^{2} = 9 - 25$

Étape 4.4.2

Soustrayez

25

$25$ de

9

$9$ .

- b^{2} = - 16

$- b^{2} = - 16$

- b^{2} = - 16

$- b^{2} = - 16$

Étape 4.5

Divisez chaque terme dans

- b^{2} = - 16

$- b^{2} = - 16$ par

- 1

$- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.5.1

Divisez chaque terme dans

- b^{2} = - 16

$- b^{2} = - 16$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.5.2.2

Divisez

b^{2}

$b^{2}$ par

1

$1$ .

b^{2} = \frac{- 16}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

b^{2} = \frac{- 16}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.3.1

Divisez

- 16

$- 16$ par

- 1

$- 1$ .

b^{2} = 16

$b^{2} = 16$

b^{2} = 16

$b^{2} = 16$

b^{2} = 16

$b^{2} = 16$

Étape 4.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

b = \pm \sqrt{16}

$b = \pm \sqrt{16}$

Étape 4.7

Simplifiez

\pm \sqrt{16}

$\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 4.7.1

Réécrivez

16

$16$ comme

4^{2}

$4^{2}$ .

b = \pm \sqrt{4^{2}}

$b = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

b = \pm 4

$b = \pm 4$

b = \pm 4

$b = \pm 4$

Étape 4.8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

\pm

$\pm$ pour déterminer la première solution.

b = 4

$b = 4$

Étape 4.8.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

\pm

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

b = - 4

$b = - 4$

Étape 4.8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

b = 4, - 4

$b = 4, - 4$

b = 4, - 4

$b = 4, - 4$

b = 4, - 4

$b = 4, - 4$

Étape 5

b

$b$ est une distance et devrait donc être un nombre positif.

b = 4

$b = 4$

Étape 6

La pente de la droite entre le foyer

(2, - 2)

$(2, - 2)$ et le centre

(- 1, - 2)

$(- 1, - 2)$ détermine si l’ellipse est verticale ou horizontale. Si la pente est

0

$0$ , le graphe est horizontal. Si la pente est indéfinie, le graphe est vertical.

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Étape 6.1

La pente est égale au changement de

y

$y$ sur le changement de

x

$x$ , ou différence des ordonnées sur différence des abscisses.

m = \frac{changement en y}{changement en x}

$m = \frac{changement en y}{changement en x}$

Étape 6.2

La variation de

x

$x$ est égale à la différence des coordonnées x (également nommées abscisses), et la variation de

y

$y$ est égale à la différence des coordonnées y (également nommées ordonnées).

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Étape 6.3

Remplacez les valeurs de

x

$x$ et

y

$y$ dans l’équation pour déterminer la pente.

m = \frac{- 2 - (- 2)}{- 1 - (2)}

$m = \frac{- 2 - (- 2)}{- 1 - (2)}$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 2

$- 2$ .

m = \frac{- 2 + 2}{- 1 - (2)}

$m = \frac{- 2 + 2}{- 1 - (2)}$

Étape 6.4.1.2

Additionnez

- 2

$- 2$ et

2

$2$ .

m = \frac{0}{- 1 - (2)}

$m = \frac{0}{- 1 - (2)}$

m = \frac{0}{- 1 - (2)}

$m = \frac{0}{- 1 - (2)}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.2.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

2

$2$ .

m = \frac{0}{- 1 - 2}

$m = \frac{0}{- 1 - 2}$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez

2

$2$ de

- 1

$- 1$ .

m = \frac{0}{- 3}

$m = \frac{0}{- 3}$

m = \frac{0}{- 3}

$m = \frac{0}{- 3}$

Étape 6.4.3

Divisez

0

$0$ par

- 3

$- 3$ .

m = 0

$m = 0$

m = 0

$m = 0$

Étape 6.5

L’équation générale pour une ellipse horizontale est

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 7

Remplacez les valeurs

h = - 1

$h = - 1$ ,

k = - 2

$k = - 2$ ,

a = 5

$a = 5$ et

b = 4

$b = 4$ dans

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ pour obtenir l’équation de l’ellipse

\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Étape 8

Simplifiez pour déterminer l’équation finale de l’ellipse.

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Étape 8.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{{(x + 1)}^{2}}{5^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{5^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Étape 8.2

Élevez

5

$5$ à la puissance

2

$2$ .

\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Étape 8.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 2

$- 2$ .

\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4^{2}} = 1

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4^{2}} = 1$

Étape 8.4

Élevez

4

$4$ à la puissance

2

$2$ .

\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Étape 9

Saisissez VOTRE problème