Algèbre Exemples

(5, 1)

$(5, 1)$ ,

(4, 1)

$(4, 1)$ ,

(- 5, 1)

$(- 5, 1)$

Étape 1

Il y a deux équations générales pour une hyperbole.

Équation d’hyperbole horizontale

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Équation d’hyperbole verticale

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 2

a

$a$ est la distance entre le sommet

(4, 1)

$(4, 1)$ et le point central

(5, 1)

$(5, 1)$ .

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Étape 2.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Soustrayez

5

$5$ de

4

$4$ .

a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

2

$2$ .

a = \sqrt{1 + {(1 - 1)}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {(1 - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Soustrayez

1

$1$ de

1

$1$ .

a = \sqrt{1 + 0^{2}}

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Étape 2.3.4

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

a = \sqrt{1 + 0}

$a = \sqrt{1 + 0}$

Étape 2.3.5

Additionnez

1

$1$ et

0

$0$ .

a = \sqrt{1}

$a = \sqrt{1}$

Étape 2.3.6

Toute racine de

1

$1$ est

1

$1$ .

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

Étape 3

c

$c$ est la distance entre le foyer

(- 5, 1)

$(- 5, 1)$ et le centre

(5, 1)

$(5, 1)$ .

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Étape 3.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Soustrayez

5

$5$ de

- 5

$- 5$ .

c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Élevez

- 10

$- 10$ à la puissance

2

$2$ .

c = \sqrt{100 + {(1 - 1)}^{2}}

$c = \sqrt{100 + {(1 - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez

1

$1$ de

1

$1$ .

c = \sqrt{100 + 0^{2}}

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Étape 3.3.4

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

c = \sqrt{100 + 0}

$c = \sqrt{100 + 0}$

Étape 3.3.5

Additionnez

100

$100$ et

0

$0$ .

c = \sqrt{100}

$c = \sqrt{100}$

Étape 3.3.6

Réécrivez

100

$100$ comme

10^{2}

$10^{2}$ .

c = \sqrt{10^{2}}

$c = \sqrt{10^{2}}$

Étape 3.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

Étape 4

Utilisation de l’équation

c^{2} = a^{2} + b^{2}

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Remplacez

a

$a$ par

1

$1$ et

c

$c$ par

10

$10$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ .

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Étape 4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

1 + b^{2} = 10^{2}

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Étape 4.3

Élevez

10

$10$ à la puissance

2

$2$ .

1 + b^{2} = 100

$1 + b^{2} = 100$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas

b

$b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.1

Soustrayez

1

$1$ des deux côtés de l’équation.

b^{2} = 100 - 1

$b^{2} = 100 - 1$

Étape 4.4.2

Soustrayez

1

$1$ de

100

$100$ .

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

Étape 4.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

b = \pm \sqrt{99}

$b = \pm \sqrt{99}$

Étape 4.6

Simplifiez

\pm \sqrt{99}

$\pm \sqrt{99}$ .

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Étape 4.6.1

Réécrivez

99

$99$ comme

3^{2} \cdot 11

$3^{2} \cdot 11$ .

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Étape 4.6.1.1

Factorisez

9

$9$ à partir de

99

$99$ .

b = \pm \sqrt{9 (11)}

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Étape 4.6.1.2

Réécrivez

9

$9$ comme

3^{2}

$3^{2}$ .

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Étape 4.6.2

Extrayez les termes de sous le radical.

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Étape 4.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

\pm

$\pm$ pour déterminer la première solution.

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$

Étape 4.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

\pm

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

b = - 3 \sqrt{11}

$b = - 3 \sqrt{11}$

Étape 4.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Étape 5

b

$b$ est une distance et devrait donc être un nombre positif.

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$

Étape 6

La pente de la droite entre le foyer

(- 5, 1)

$(- 5, 1)$ et le centre

(5, 1)

$(5, 1)$ détermine si l’hyperbole est verticale ou horizontale. Si la pente est

0

$0$ , le graphe est horizontal. Si la pente est indéfinie, le graphe est vertical.

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Étape 6.1

La pente est égale au changement de

y

$y$ sur le changement de

x

$x$ , ou différence des ordonnées sur différence des abscisses.

m = \frac{changement en y}{changement en x}

$m = \frac{changement en y}{changement en x}$

Étape 6.2

La variation de

x

$x$ est égale à la différence des coordonnées x (également nommées abscisses), et la variation de

y

$y$ est égale à la différence des coordonnées y (également nommées ordonnées).

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Étape 6.3

Remplacez les valeurs de

x

$x$ et

y

$y$ dans l’équation pour déterminer la pente.

m = \frac{1 - (1)}{5 - (- 5)}

$m = \frac{1 - (1)}{5 - (- 5)}$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

m = \frac{1 - 1}{5 - (- 5)}

$m = \frac{1 - 1}{5 - (- 5)}$

Étape 6.4.1.2

Soustrayez

1

$1$ de

1

$1$ .

m = \frac{0}{5 - (- 5)}

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

m = \frac{0}{5 - (- 5)}

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.2.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 5

$- 5$ .

m = \frac{0}{5 + 5}

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Étape 6.4.2.2

Additionnez

5

$5$ et

5

$5$ .

m = \frac{0}{10}

$m = \frac{0}{10}$

m = \frac{0}{10}

$m = \frac{0}{10}$

Étape 6.4.3

Divisez

0

$0$ par

10

$10$ .

m = 0

$m = 0$

m = 0

$m = 0$

Étape 6.5

L’équation générale pour une hyperbole horizontale est

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 7

Remplacez les valeurs

h = 5

$h = 5$ ,

k = 1

$k = 1$ ,

a = 1

$a = 1$ et

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$ dans

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ pour obtenir l’équation de l’hyperbole

\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Étape 8

Simplifiez pour déterminer l’équation finale de l’hyperbole.

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Étape 8.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

5

$5$ .

\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Étape 8.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Étape 8.3

Divisez

{(x - 5)}^{2}

${(x - 5)}^{2}$ par

1

$1$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Étape 8.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Étape 8.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.5.1

Appliquez la règle de produit à

3 \sqrt{11}

$3 \sqrt{11}$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Étape 8.5.2

Élevez

3

$3$ à la puissance

2

$2$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Étape 8.5.3

Réécrivez

{\sqrt{11}}^{2}

${\sqrt{11}}^{2}$ comme

11

$11$ .

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Étape 8.5.3.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{11}

$\sqrt{11}$ comme

11^{\frac{1}{2}}

$11^{\frac{1}{2}}$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Étape 8.5.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Étape 8.5.3.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Étape 8.5.3.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 8.5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Étape 8.5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Étape 8.5.3.5

Évaluez l’exposant.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Étape 8.6

Multipliez

$9$ par

$11$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{99} = 1$

Étape 9

Saisissez VOTRE problème