Algèbre Exemples

$(5, 1)$ , $(4, 1)$ , $(- 5, 1)$

Étape 1

Il y a deux équations générales pour une hyperbole.

Équation d’hyperbole horizontale $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Équation d’hyperbole verticale $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 2

$a$ est la distance entre le sommet $(4, 1)$ et le point central $(5, 1)$ .

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Étape 2.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Soustrayez $5$ de $4$ .

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{1 + {(1 - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Étape 2.3.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$a = \sqrt{1 + 0}$

Étape 2.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$a = \sqrt{1}$

Étape 2.3.6

Toute racine de $1$ est $1$ .

$a = 1$

Étape 3

$c$ est la distance entre le foyer $(- 5, 1)$ et le centre $(5, 1)$ .

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Étape 3.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Soustrayez $5$ de $- 5$ .

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{100 + {(1 - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Étape 3.3.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$c = \sqrt{100 + 0}$

Étape 3.3.5

Additionnez $100$ et $0$ .

$c = \sqrt{100}$

Étape 3.3.6

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$c = \sqrt{10^{2}}$

Étape 3.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$c = 10$

Étape 4

Utilisation de l’équation $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Remplacez $a$ par $1$ et $c$ par $10$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme ${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ .

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Étape 4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Étape 4.3

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$1 + b^{2} = 100$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$b^{2} = 100 - 1$

Étape 4.4.2

Soustrayez $1$ de $100$ .

$b^{2} = 99$

Étape 4.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$b = \pm \sqrt{99}$

Étape 4.6

Simplifiez $\pm \sqrt{99}$ .

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Étape 4.6.1

Réécrivez $99$ comme $3^{2} \cdot 11$ .

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Étape 4.6.1.1

Factorisez $9$ à partir de $99$ .

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Étape 4.6.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Étape 4.6.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Étape 4.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$b = 3 \sqrt{11}$

Étape 4.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$b = - 3 \sqrt{11}$

Étape 4.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Étape 5

$b$ est une distance et devrait donc être un nombre positif.

$b = 3 \sqrt{11}$

Étape 6

La pente de la droite entre le foyer $(- 5, 1)$ et le centre $(5, 1)$ détermine si l’hyperbole est verticale ou horizontale. Si la pente est $0$ , le graphe est horizontal. Si la pente est indéfinie, le graphe est vertical.

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Étape 6.1

La pente est égale au changement de $y$ sur le changement de $x$ , ou différence des ordonnées sur différence des abscisses.

$m = \frac{changement en y}{changement en x}$

Étape 6.2

La variation de $x$ est égale à la différence des coordonnées x (également nommées abscisses), et la variation de $y$ est égale à la différence des coordonnées y (également nommées ordonnées).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Étape 6.3

Remplacez les valeurs de $x$ et $y$ dans l’équation pour déterminer la pente.

$m = \frac{1 - (1)}{5 - (- 5)}$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$m = \frac{1 - 1}{5 - (- 5)}$

Étape 6.4.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Étape 6.4.2.2

Additionnez $5$ et $5$ .

$m = \frac{0}{10}$

Étape 6.4.3

Divisez $0$ par $10$ .

$m = 0$

Étape 6.5

L’équation générale pour une hyperbole horizontale est $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 7

Remplacez les valeurs $h = 5$ , $k = 1$ , $a = 1$ et $b = 3 \sqrt{11}$ dans $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ pour obtenir l’équation de l’hyperbole $\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Étape 8

Simplifiez pour déterminer l’équation finale de l’hyperbole.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Étape 8.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Étape 8.3

Divisez ${(x - 5)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Étape 8.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Étape 8.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.5.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{11}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Étape 8.5.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Étape 8.5.3

Réécrivez ${\sqrt{11}}^{2}$ comme $11$ .

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Étape 8.5.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{11}$ comme $11^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Étape 8.5.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Étape 8.5.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Étape 8.5.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Étape 8.5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Étape 8.5.3.5

Évaluez l’exposant.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Étape 8.6

Multipliez $9$ par $11$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{99} = 1$

Étape 9

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