Algèbre Exemples

$(2, 3)$ ,

$(1, 3)$ ,

$(- 4, 3)$

Étape 1

Il y a deux équations générales pour une hyperbole.

Équation d’hyperbole horizontale

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Équation d’hyperbole verticale

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 2

$a$ est la distance entre le sommet

$(1, 3)$ et le point central

$(2, 3)$ .

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Étape 2.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

$a = \sqrt{{(1 - 2)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Soustrayez

$2$ de

$1$ .

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$a = \sqrt{1 + {(3 - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Soustrayez

$3$ de

$3$ .

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Étape 2.3.4

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$a = \sqrt{1 + 0}$

Étape 2.3.5

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$a = \sqrt{1}$

Étape 2.3.6

Toute racine de

$1$ est

$1$ .

$a = 1$

Étape 3

$c$ est la distance entre le foyer

$(- 4, 3)$ et le centre

$(2, 3)$ .

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Étape 3.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

$c = \sqrt{{((- 4) - 2)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Soustrayez

$2$ de

$- 4$ .

$c = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Élevez

$- 6$ à la puissance

$2$ .

$c = \sqrt{36 + {(3 - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez

$3$ de

$3$ .

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Étape 3.3.4

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$c = \sqrt{36 + 0}$

Étape 3.3.5

Additionnez

$36$ et

$0$ .

$c = \sqrt{36}$

Étape 3.3.6

Réécrivez

$36$ comme

$6^{2}$ .

$c = \sqrt{6^{2}}$

Étape 3.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$c = 6$

Étape 4

Utilisation de l’équation

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Remplacez

$a$ par

$1$ et

$c$ par

$6$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme

${(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}$ .

${(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}$

Étape 4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + b^{2} = 6^{2}$

Étape 4.3

Élevez

$6$ à la puissance

$2$ .

$1 + b^{2} = 36$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas

$b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.1

Soustrayez

$1$ des deux côtés de l’équation.

$b^{2} = 36 - 1$

Étape 4.4.2

Soustrayez

$1$ de

$36$ .

$b^{2} = 35$

Étape 4.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$b = \pm \sqrt{35}$

Étape 4.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$b = \sqrt{35}$

Étape 4.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$b = - \sqrt{35}$

Étape 4.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}$

Étape 5

$b$ est une distance et devrait donc être un nombre positif.

$b = \sqrt{35}$

Étape 6

La pente de la droite entre le foyer

$(- 4, 3)$ et le centre

$(2, 3)$ détermine si l’hyperbole est verticale ou horizontale. Si la pente est

$0$ , le graphe est horizontal. Si la pente est indéfinie, le graphe est vertical.

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Étape 6.1

La pente est égale au changement de

$y$ sur le changement de

$x$ , ou différence des ordonnées sur différence des abscisses.

$m = \frac{changement en y}{changement en x}$

Étape 6.2

La variation de

$x$ est égale à la différence des coordonnées x (également nommées abscisses), et la variation de

$y$ est égale à la différence des coordonnées y (également nommées ordonnées).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Étape 6.3

Remplacez les valeurs de

$x$ et

$y$ dans l’équation pour déterminer la pente.

$m = \frac{3 - (3)}{2 - (- 4)}$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$m = \frac{3 - 3}{2 - (- 4)}$

Étape 6.4.1.2

Soustrayez

$3$ de

$3$ .

$m = \frac{0}{2 - (- 4)}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 4$ .

$m = \frac{0}{2 + 4}$

Étape 6.4.2.2

Additionnez

$2$ et

$4$ .

$m = \frac{0}{6}$

Étape 6.4.3

Divisez

$0$ par

$6$ .

$m = 0$

Étape 6.5

L’équation générale pour une hyperbole horizontale est

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 7

Remplacez les valeurs

$h = 2$ ,

$k = 3$ ,

$a = 1$ et

$b = \sqrt{35}$ dans

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ pour obtenir l’équation de l’hyperbole

$\frac{{(x - (2))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (2))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Étape 8

Simplifiez pour déterminer l’équation finale de l’hyperbole.

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Étape 8.1

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Étape 8.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Étape 8.3

Divisez

${(x - 2)}^{2}$ par

$1$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Étape 8.4

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{{\sqrt{35}}^{2}} = 1$

Étape 8.5

Réécrivez

${\sqrt{35}}^{2}$ comme

$35$ .

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Étape 8.5.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{35}$ comme

$35^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Étape 8.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Étape 8.5.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{2}{2}}} = 1$

Étape 8.5.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 8.5.4.1

Annulez le facteur commun.

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{2}{2}}} = 1$

Étape 8.5.4.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35} = 1$

Étape 8.5.5

Évaluez l’exposant.

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35} = 1$

Étape 9

Saisissez VOTRE problème