Algèbre Exemples

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ ,

(1, 2, 3)

$(1, 2, 3)$ ,

(2, 2, 2)

$(2, 2, 2)$ ,

(4, 7, 10)

$(4, 7, 10)$

Étape 1

Avec les points

C = (2, 2, 2)

$C = (2, 2, 2)$ et

D = (4, 7, 10)

$D = (4, 7, 10)$ , déterminez un plan contenant les points

A = (1, 1, 1)

$A = (1, 1, 1)$ et

B = (1, 2, 3)

$B = (1, 2, 3)$ qui est parallèle à la droite

CD

$CD$ .

A = (1, 1, 1)

$A = (1, 1, 1)$

B = (1, 2, 3)

$B = (1, 2, 3)$

C = (2, 2, 2)

$C = (2, 2, 2)$

D = (4, 7, 10)

$D = (4, 7, 10)$

Étape 2

Commencez par calculer le vecteur directeur de la droite qui passe par les points

C

$C$ et

D

$D$ . Vous pouvez pour cela prendre les valeurs des coordonnées du point

C

$C$ et les soustraire de celles du point

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Étape 3

Remplacez les valeurs

x

$x$ ,

y

$y$ et

z

$z$ puis simplifiez pour obtenir le vecteur directeur

V_{CD}

$V_{CD}$ pour la droite

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ 2, 5, 8 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 2, 5, 8 ⟩$

Étape 4

Calculez le vecteur directeur d’une droite passant par des points

A

$A$ et

B

$B$ en utilisant la même méthode.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Étape 5

Remplacez les valeurs

x

$x$ ,

y

$y$ et

z

$z$ puis simplifiez pour obtenir le vecteur directeur

V_{AB}

$V_{AB}$ pour la droite

AB

$AB$ .

V_{AB} = ⟨ 0, 1, 2 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 0, 1, 2 ⟩$

Étape 6

Le plan solution contiendra une droite contenant des points

A

$A$ et

B

$B$ et avec le vecteur directeur

V_{A B}

$V_{A B}$ . Pour que ce plan soit parallèle à la droite

C D

$C D$ , déterminez le vecteur normal du plan qui est aussi orthogonal au vecteur directeur de la droite

C D

$C D$ . Calculez le vecteur normal en trouvant le produit en croix

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ en trouvant le déterminant de la matrice

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 0 & 1 & 2 2 & 5 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 8 \end{array}]$

Étape 7

Calculez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments

0

$0$ . S’il n’y a aucun élément

0

$0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne

1

$1$ par son cofacteur et ajoutez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 7.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position

-

$-$ sur le tableau de signes.

Étape 7.1.3

Le mineur pour

a_{11}

$a_{11}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

1

$1$ sont supprimées.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

Étape 7.1.4

Multipliez l’élément

a_{11}

$a_{11}$ par son cofacteur.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

Étape 7.1.5

Le mineur pour

a_{12}

$a_{12}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

2

$2$ sont supprimées.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Étape 7.1.6

Multipliez l’élément

a_{12}

$a_{12}$ par son cofacteur.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j$

Étape 7.1.7

Le mineur pour

a_{13}

$a_{13}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

3

$3$ sont supprimées.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$

Étape 7.1.8

Multipliez l’élément

a_{13}

$a_{13}$ par son cofacteur.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Étape 7.1.9

Additionnez les termes entre eux.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Étape 7.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$ .

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Étape 7.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i (1 \cdot 8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Étape 7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Multipliez

$8$ par

$1$ .

$i (8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez

$- 5$ par

$2$ .

$i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez

$10$ de

$8$ .

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Étape 7.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot - 2 - (0 \cdot 8 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Étape 7.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1.1

Multipliez

$0$ par

$8$ .

$i \cdot - 2 - (0 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Étape 7.3.2.1.2

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Étape 7.3.2.2

Soustrayez

$4$ de

$0$ .

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Étape 7.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 \cdot 5 - 2 \cdot 1) k$

Étape 7.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.1.1

Multipliez

$0$ par

$5$ .

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2 \cdot 1) k$

Étape 7.4.2.1.2

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k$

Étape 7.4.2.2

Soustrayez

$2$ de

$0$ .

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

Étape 7.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Déplacez

$- 2$ à gauche de

$i$ .

$- 2 \cdot i - - 4 j - 2 k$

Étape 7.5.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 4$ .

$- 2 i + 4 j - 2 k$

Étape 8

Résolvez l’expression

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z$ sur le point

$A$ car il est dans le plan. Cela permet de calculer la constante dans l’équation pour le plan.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$- 2 + (4) \cdot 1 + (- 2) \cdot 1$

Étape 8.1.2

Multipliez

$4$ par

$1$ .

$- 2 + 4 + (- 2) \cdot 1$

Étape 8.1.3

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$- 2 + 4 - 2$

Étape 8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.1

Additionnez

$- 2$ et

$4$ .

$2 - 2$

Étape 8.2.2

Soustrayez

$2$ de

$2$ .

$0$

Étape 9

Ajoutez la constante pour déterminer l’équation du plan pour obtenir

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$ .

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$

Étape 10

Multipliez

$- 2$ par

$z$ .

$- 2 x + 4 y - 2 z = 0$

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