Algèbre Exemples

Avec les points ${\displaystyle C=(2,2,2)}$ et ${\displaystyle D=(4,7,10)}$, déterminez un plan contenant les points ${\displaystyle A=(1,1,1)}$ et ${\displaystyle B=(1,2,3)}$ qui est parallèle à la droite ${\displaystyle \mathrm{CD}}$.

Commencez par calculer le vecteur directeur de la droite qui passe par les points ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle D}$. Vous pouvez pour cela prendre les valeurs des coordonnées du point ${\displaystyle C}$ et les soustraire de celles du point ${\displaystyle D}$.

Remplacez les valeurs ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ et ${\displaystyle z}$ puis simplifiez pour obtenir le vecteur directeur ${\displaystyle V_{\mathrm{CD}}}$ pour la droite ${\displaystyle \mathrm{CD}}$.

Calculez le vecteur directeur d’une droite passant par des points ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ en utilisant la même méthode.

Remplacez les valeurs ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ et ${\displaystyle z}$ puis simplifiez pour obtenir le vecteur directeur ${\displaystyle V_{\mathrm{AB}}}$ pour la droite ${\displaystyle \mathrm{AB}}$.

Le plan solution contiendra une droite contenant des points ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ et avec le vecteur directeur ${\displaystyle V_{AB}}$. Pour que ce plan soit parallèle à la droite ${\displaystyle CD}$, déterminez le vecteur normal du plan qui est aussi orthogonal au vecteur directeur de la droite ${\displaystyle CD}$. Calculez le vecteur normal en trouvant le produit en croix ${\displaystyle V_{AB}}$x${\displaystyle V_{CD}}$ en trouvant le déterminant de la matrice ${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_B-x_A& y_B-y_A& z_B-z_A\\ x_D-x_C& y_D-y_C& z_D-z_C\end{array}\right]}$.

Ajoutez la constante pour déterminer l’équation du plan pour obtenir ${\displaystyle (-2)x+\left(4\right)y+(-2)z=0}$.