Algèbre Exemples

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ ,

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$

Étape 1

Pour déterminer l’intersection de la droite passant par un point

(p, q, r)

$(p, q, r)$ perpendiculaire au plan

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ et au plan

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ :

1. Déterminez les vecteurs normaux du plan

P_{1}

$P_{1}$ et du plan

P_{2}

$P_{2}$ lorsque les vecteurs normaux sont

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ et

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Vérifiez si le produit scalaire est 0.

2. Créez un ensemble d’équations paramétriques de sorte que

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ et

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. Remplacez ces équations par l’équation pour le plan

P_{2}

$P_{2}$ de sorte que

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ et résolvez pour

t

$t$ .

4. Utilisez la valeur de

t

$t$ pour résoudre les équations paramétriques

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ et

z = r + c t

$z = r + c t$ pour

t

$t$ afin de déterminer l’intersection

(x, y, z)

$(x, y, z)$ .

Étape 2

Déterminez les vecteurs normaux pour chaque plan et déterminez s’ils sont perpendiculaires en calculant le produit scalaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

P_{1}

$P_{1}$ est

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ . Déterminez le vecteur normal

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ à partir de l’équation de plan de la forme

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

Étape 2.2

P_{2}

$P_{2}$ est

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$ . Déterminez le vecteur normal

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ à partir de l’équation de plan de la forme

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩$

Étape 2.3

Calculez le produit scalaire de

n_{1}

$n_{1}$ et

n_{2}

$n_{2}$ en additionnant les produits des valeurs

x

$x$ ,

y

$y$ et

z

$z$ correspondantes dans les vecteurs normaux.

3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Étape 2.4

Simplifiez le produit scalaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Supprimez les parenthèses.

3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Étape 2.4.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Étape 2.4.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 2

$- 2$ .

3 + 2 + 0 \cdot 0

$3 + 2 + 0 \cdot 0$

Étape 2.4.2.3

Multipliez

0

$0$ par

0

$0$ .

3 + 2 + 0

$3 + 2 + 0$

3 + 2 + 0

$3 + 2 + 0$

Étape 2.4.3

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Additionnez

3

$3$ et

2

$2$ .

5 + 0

$5 + 0$

Étape 2.4.3.2

Additionnez

5

$5$ et

0

$0$ .

5

$5$

5

$5$

5

$5$

5

$5$

Étape 3

Ensuite, créez un ensemble d’équations paramétriques

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ et

z = r + c t

$z = r + c t$ en utilisant l’origine

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ pour le point

(p, q, r)

$(p, q, r)$ et les valeurs du vecteur normal

5

$5$ pour les valeurs de

a

$a$ ,

b

$b$ et

c

$c$ . Cet ensemble d’équations paramétriques représente la droite passant par l’origine qui est perpendiculaire à

P_{1}

$P_{1}$

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ .

x = 0 + 3 \cdot t

$x = 0 + 3 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

Étape 4

Remplacez l’expression pour

x

$x$ ,

y

$y$ et

z

$z$ dans l’équation pour

P_{2}

$P_{2}$

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$ .

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Étape 5

Résolvez l’équation pour

t

$t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Associez les termes opposés dans

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Additionnez

0

$0$ et

3 \cdot t

$3 \cdot t$ .

3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Étape 5.1.1.2

Soustrayez

1 \cdot t

$1 \cdot t$ de

0

$0$ .

3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

Étape 5.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Réécrivez

- 1 t

$- 1 t$ comme

- t

$- t$ .

3 t - 2 (- t) = - 3

$3 t - 2 (- t) = - 3$

Étape 5.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 2

$- 2$ .

3 t + 2 t = - 3

$3 t + 2 t = - 3$

3 t + 2 t = - 3

$3 t + 2 t = - 3$

Étape 5.1.3

Additionnez

3 t

$3 t$ et

2 t

$2 t$ .

5 t = - 3

$5 t = - 3$

5 t = - 3

$5 t = - 3$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans

5 t = - 3

$5 t = - 3$ par

5

$5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans

5 t = - 3

$5 t = - 3$ par

5

$5$ .

\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de

5

$5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez

t

$t$ par

1

$1$ .

t = \frac{- 3}{5}

$t = \frac{- 3}{5}$

t = \frac{- 3}{5}

$t = \frac{- 3}{5}$

t = \frac{- 3}{5}

$t = \frac{- 3}{5}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

t = - \frac{3}{5}

$t = - \frac{3}{5}$

t = - \frac{3}{5}

$t = - \frac{3}{5}$

t = - \frac{3}{5}

$t = - \frac{3}{5}$

t = - \frac{3}{5}

$t = - \frac{3}{5}$

Étape 6

Résolvez les équations paramétriques pour

x

$x$ ,

y

$y$ et

z

$z$ en utilisant la valeur de

t

$t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Résolvez l’équation pour

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Supprimez les parenthèses.

x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))

$x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Étape 6.1.2

Supprimez les parenthèses.

x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})

$x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$

Étape 6.1.3

Simplifiez

0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})

$0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1.1

Multipliez

3 (- \frac{3}{5})

$3 (- \frac{3}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1.1.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

3

$3$ .

x = 0 - 3 (\frac{3}{5})

$x = 0 - 3 (\frac{3}{5})$

Étape 6.1.3.1.1.2

Associez

- 3

$- 3$ et

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ .

x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}

$x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}$

Étape 6.1.3.1.1.3

Multipliez

- 3

$- 3$ par

3

$3$ .

x = 0 + \frac{- 9}{5}

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

x = 0 + \frac{- 9}{5}

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

Étape 6.1.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

x = 0 - \frac{9}{5}

$x = 0 - \frac{9}{5}$

x = 0 - \frac{9}{5}

$x = 0 - \frac{9}{5}$

Étape 6.1.3.2

Soustrayez

\frac{9}{5}

$\frac{9}{5}$ de

0

$0$ .

x = - \frac{9}{5}

$x = - \frac{9}{5}$

x = - \frac{9}{5}

$x = - \frac{9}{5}$

x = - \frac{9}{5}

$x = - \frac{9}{5}$

Étape 6.2

Résolvez l’équation pour

y

$y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Supprimez les parenthèses.

y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Étape 6.2.2

Supprimez les parenthèses.

y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$

Étape 6.2.3

Simplifiez

0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})

$0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Multipliez

- 1 (- \frac{3}{5})

$- 1 (- \frac{3}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

y = 0 + 1 (\frac{3}{5})

$y = 0 + 1 (\frac{3}{5})$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ par

1

$1$ .

y = 0 + \frac{3}{5}

$y = 0 + \frac{3}{5}$

y = 0 + \frac{3}{5}

$y = 0 + \frac{3}{5}$

Étape 6.2.3.2

Additionnez

0

$0$ et

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ .

y = \frac{3}{5}

$y = \frac{3}{5}$

y = \frac{3}{5}

$y = \frac{3}{5}$

y = \frac{3}{5}

$y = \frac{3}{5}$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour

z

$z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Supprimez les parenthèses.

z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Étape 6.3.2

Supprimez les parenthèses.

z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$

Étape 6.3.3

Simplifiez

0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})

$0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Multipliez

0 (- \frac{3}{5})

$0 (- \frac{3}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

0

$0$ .

z = 0 + 0 (\frac{3}{5})

$z = 0 + 0 (\frac{3}{5})$

Étape 6.3.3.1.2

Multipliez

0

$0$ par

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ .

z = 0 + 0

$z = 0 + 0$

z = 0 + 0

$z = 0 + 0$

Étape 6.3.3.2

Additionnez

0

$0$ et

0

$0$ .

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

Étape 6.4

Les équations paramétriques résolues pour

x

$x$ ,

y

$y$ et

z

$z$ .

x = - \frac{9}{5}

$x = - \frac{9}{5}$

y = \frac{3}{5}

$y = \frac{3}{5}$

z = 0

$z = 0$

x = - \frac{9}{5}

$x = - \frac{9}{5}$

y = \frac{3}{5}

$y = \frac{3}{5}$

z = 0

$z = 0$

Étape 7

En utilisant les valeurs calculées pour

x

$x$ ,

y

$y$ et

z

$z$ , le point d’intersection est

(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$ .

(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$

Saisissez VOTRE problème