Exemples

$\sqrt{2} - x (x - 4) = 7$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} - x \cdot x - x \cdot - 4 = 7$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Déplacez $x$ .

$\sqrt{2} - (x \cdot x) - x \cdot - 4 = 7$

Étape 1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\sqrt{2} - x^{2} - x \cdot - 4 = 7$

Étape 1.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\sqrt{2} - x^{2} + 4 x = 7$

Étape 2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2} - x^{2} + 4 x - 7 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 4$ et $c = \sqrt{2} - 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (\sqrt{2} - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot (\sqrt{2} - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot (\sqrt{2} - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot - 7}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.1.4

Multipliez $4$ par $- 7$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \sqrt{2} - 28}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $28$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 12 + 4 \sqrt{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $- 12 + 4 \sqrt{2}$ comme $2^{2} (- 3 + \sqrt{2})$ .

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- 3) + 4 \sqrt{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- 3) + 4 (\sqrt{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 3) + 4 (\sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- 3 + \sqrt{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.1.6.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (- 3 + \sqrt{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}}{- 2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}}{- 2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot (\sqrt{2} - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot (\sqrt{2} - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot - 7}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.4

Multipliez $4$ par $- 7$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \sqrt{2} - 28}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.5

Soustrayez $28$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 12 + 4 \sqrt{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $- 12 + 4 \sqrt{2}$ comme $2^{2} (- 3 + \sqrt{2})$ .

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Étape 6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- 3) + 4 \sqrt{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- 3) + 4 (\sqrt{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 3) + 4 (\sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- 3 + \sqrt{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.6.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (- 3 + \sqrt{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}}{- 2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}}{- 2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 2 + \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot (\sqrt{2} - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot (\sqrt{2} - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot - 7}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.4

Multipliez $4$ par $- 7$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \sqrt{2} - 28}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.5

Soustrayez $28$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 12 + 4 \sqrt{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.6

Réécrivez $- 12 + 4 \sqrt{2}$ comme $2^{2} (- 3 + \sqrt{2})$ .

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Étape 7.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- 3) + 4 \sqrt{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- 3) + 4 (\sqrt{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 3) + 4 (\sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- 3 + \sqrt{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.6.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (- 3 + \sqrt{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}}{- 2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}}{- 2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 2 - \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}, 2 - \sqrt{- 3 + \sqrt{2}}$

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