Exemples

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Étape 1

Factorisez

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ où

p

$p$ est un facteur de la constante et

q

$q$ est un facteur du coefficient directeur.

p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Étape 1.3

Remplacez

2

$2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à

0

$0$ donc

2

$2$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez

2

$2$ dans le polynôme.

2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 1.3.2

Élevez

2

$2$ à la puissance

3

$3$ .

8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 1.3.3

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 1.3.4

Multipliez

- 6

$- 6$ par

4

$4$ .

8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 1.3.5

Soustrayez

24

$24$ de

8

$8$ .

- 16 + 12 \cdot 2 - 8

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 1.3.6

Multipliez

12

$12$ par

2

$2$ .

- 16 + 24 - 8

$- 16 + 24 - 8$

Étape 1.3.7

Additionnez

- 16

$- 16$ et

24

$24$ .

8 - 8

$8 - 8$

Étape 1.3.8

Soustrayez

8

$8$ de

8

$8$ .

0

$0$

0

$0$

Étape 1.4

Comme

2

$2$ est une racine connue, divisez le polynôme par

x - 2

$x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Étape 1.5

Divisez

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ par

x - 2

$x - 2$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de

0

$0$ .

x

$x$

2

$2$

x^{3}

$x^{3}$

6 x^{2}

$6 x^{2}$

12 x

$12 x$

8

$8$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

x^{3}

$x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

x^{3} - 2 x^{2}

$x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

- 4 x^{2}

$- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$8 x$ $8 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

- 4 x^{2} + 8 x

$- 4 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

4 x

$4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

4 x - 8

$4 x - 8$

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

Étape 1.5.16

Since the remainder is

$0$ , the final answer is the quotient.

$x^{2} - 4 x + 4$

Étape 1.6

Écrivez

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2})$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où

$a = x$ et

$b = 2$ .

$(x - 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 3

Associez les facteurs similaires.

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Étape 3.1

Élevez

$x - 2$ à la puissance

$1$ .

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2}$

Étape 3.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x - 2)}^{1 + 2}$

Étape 3.3

Additionnez

$1$ et

$2$ .

${(x - 2)}^{3}$

Étape 4

Comme le polynôme peut être factorisé, il n’est pas premier.

Pas premier

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