Algèbre Exemples

$\frac{i + 1}{5 i - 1}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{i + 1}{- 1 + 5 i}$ par le conjugué de $- 1 + 5 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{i + 1}{- 1 + 5 i} \cdot \frac{- 1 - 5 i}{- 1 - 5 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(i + 1) (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(i + 1) (- 1 - 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i (- 1 - 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $i$ .

$\frac{- 1 \cdot i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\frac{- i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $i (- 5 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- i - 5 (i^{1} i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- i - 5 (i^{1} i^{1}) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- i - 5 i^{1 + 1} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- i - 5 i^{2} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- i - 5 \cdot - 1 + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{- i + 5 + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- i + 5 - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.7

Multipliez $- 5 i$ par $1$ .

$\frac{- i + 5 - 1 - 5 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $5 i$ de $- i$ .

$\frac{5 - 1 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $1$ de $5$ .

$\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - 6 i}{- 1 (- 1 - 5 i) + 5 i (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i (- 1 - 5 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i + 5 i (- 5 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $5 i$ de $5 i$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 0 - 25 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 - 25 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 - 25 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 25$ par $- 1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 25}$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $25$ .

$\frac{4 - 6 i}{26}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $4 - 6 i$ et $26$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2) - 6 i}{26}$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 i$ .

$\frac{2 (2) + 2 (- 3 i)}{26}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (- 3 i)$ .

$\frac{2 (2 - 3 i)}{26}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $26$ .

$\frac{2 (2 - 3 i)}{2 \cdot 13}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 - 3 i)}{2 \cdot 13}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - 3 i}{13}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{2 - 3 i}{13}$ en deux fractions.

$\frac{2}{13} + \frac{- 3 i}{13}$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{13} - \frac{3 i}{13}$

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