Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{4 x^{2} - 16}{- 5 x + 10}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{4 x^{2} - 16}{- 5 x + 10}$ nicht definiert ist.

$x = 2$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 16$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (x^{2}) - 16}{- 5 x + 10}$

Schritt 6.1.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 4}{- 5 x + 10}$

Schritt 6.1.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{4 (x^{2} - 4)}{- 5 x + 10}$

Schritt 6.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4 (x^{2} - 2^{2})}{- 5 x + 10}$

Schritt 6.1.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{- 5 x + 10}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x + 10$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{5 (- x) + 10}$

Schritt 6.1.2.1.2

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{5 (- x) + 5 (2)}$

Schritt 6.1.2.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (- x) + 5 (2)$ heraus.

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{5 (- x + 2)}$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 2$ und $- x + 2$ .

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Schritt 6.1.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{4 (x + 2) (- 1 (- x) - 2)}{5 (- x + 2)}$

Schritt 6.1.2.2.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{4 (x + 2) (- 1 (- x) - 1 (2))}{5 (- x + 2)}$

Schritt 6.1.2.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{4 (x + 2) (- 1 (- x + 2))}{5 (- x + 2)}$

Schritt 6.1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x + 2) (- 1 (- x + 2))}{5 (- x + 2)}$

Schritt 6.1.2.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (x + 2) \cdot (- 1)}{5}$

Schritt 6.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 4 (x + 2)}{5}$

Schritt 6.1.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (x + 2)}{5}$

Schritt 6.2

Multipliziere $- 4 (x + 2)$ aus.

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Schritt 6.2.1

Beginne auszumultiplizieren.

$\frac{- 4 (x + 2)}{5}$

Schritt 6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 x - 4 \cdot 2}{5}$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{- 4 x - 8}{5}$

Schritt 6.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$5$

$4 x$

$8$

Schritt 6.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5$ .

		-	$\frac{4 x}{5}$
	$5$	-	$4 x$	-	$8$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

	-	$\frac{4 x}{5}$
$5$	-	$4 x$	-	$8$
	-	$4 x$

Schritt 6.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x$

	-	$\frac{4 x}{5}$
$5$	-	$4 x$	-	$8$
	+	$4 x$

Schritt 6.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

	-	$\frac{4 x}{5}$
$5$	-	$4 x$	-	$8$
	+	$4 x$
		$0$

Schritt 6.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

	-	$\frac{4 x}{5}$
$5$	-	$4 x$	-	$8$
	+	$4 x$
		$0$	-	$8$

Schritt 6.9

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5}$

Schritt 6.10

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - \frac{4 x}{5}$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - \frac{4 x}{5}$

Schritt 8