Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + 4 x}{- x - 4}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{2} + 4 x}{- x - 4}$ nicht definiert ist.

$x = - 4$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 4 x$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x + 4 x}{- x - 4}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4}{- x - 4}$

Schritt 6.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 4$ heraus.

$\frac{x (x + 4)}{- x - 4}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 4$ und $- x - 4$ .

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{x (- 1 (- x) + 4)}{- x - 4}$

Schritt 6.1.2.2

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{x (- 1 (- x) - 1 (- 4))}{- x - 4}$

Schritt 6.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{x (- 1 (- x - 4))}{- x - 4}$

Schritt 6.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 1 (- x - 4))}{- x - 4}$

Schritt 6.1.2.5

Dividiere $x \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$x \cdot (- 1)$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 1 x$

Schritt 6.1.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- x$

Schritt 6.2

Da aus der Polynomendivision kein polynomialer Teil resultiert, gibt es keine schiefen Asymptoten.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 8